洛谷P1119 灾后重建

出处
http://blog.youkuaiyun.com/harlow_cheng/article/details/52262956

通过这道题加深了对floyd的理解,通过中间点k去更新与之相连的点。原理讲的很清晰,必须点赞:)

代码做了微调

#include<cstdio>  
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;  
struct question //用结构体把询问存下来。  
{  
    int x,y,time;  
}a[50001]; 
int n,m,t[201],w[201][201],q; //t数组是各个节点修建好的时间。  
void get_ans()  
{  
    int now=1;  
    t[n+1]=t[n]+10000; //这是防止上溢。  
    for (int k=0;k<=n;k++) //k从0开始枚举  
    {  
        for (int i=1;i<=n;i++) //以k作为中间节点尝试更新任意两点之间的距离。  
            for (int j=1;j<=n;j++)  
                if (w[i][j]>w[i][k]+w[k][j])  
                    w[i][j]=w[i][k]+w[k][j];  
        while (now<=q&&t[k]<=a[now].time&&t[k+1]>a[now].time)  
        {//如果询问还没结束。且这个节点在所询问的时间内。且k+1这个节点修建的时间超过询问的时间  
            if (t[a[now].x]>a[now].time||t[a[now].y]>a[now].time)  
                printf("-1\n");  
            else //输出依靠前k个节点作为中间节点更新出的任意两点之间的距离  
            {  
                if (w[a[now].x][a[now].y]>=w[0][0])  
                    printf("-1\n");  
                else  
                    printf("%d\n",w[a[now].x][a[now].y]);  
            }  
            now++; //看一下下一个询问是否符合要求。  
        }  
        if (now>q) //如果询问都输出了则结束。  
            break;  
    }  
}  

int main()  
{    
    memset(w,127/3,sizeof(w));//一开始w数组赋值为一个很大的数字。  
    scanf("%d%d",&n,&m);  
    for (int i=1;i<=n;i++) //输入各个节点修建好的时刻。  
        scanf("%d",&t[i]);  
    for (int i=1;i<=m;i++) //输入边权信息。  
    {  
        int x, y, z;  
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);  
        x++; y++;  
        w[x][y]=w[y][x]=z;  
    }  
    scanf("%d", &q);  
    for (int i=1;i<=q;i++) //输入q个询问。  
    {  
        scanf("%d%d%d",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].time);  
        a[i].x++;  
        a[i].y++;  
    }  
    get_ans();  
    return 0;  
}
### 问题解析 P1119 重建(Luogu)上的一个经典图论题目,其核心问题是:在一个带权图中,某些节点在特定时间点才会开放,要求在给定的时间内找出两个节点之间的最短路径,前提是这些节点必须已经开放。 Dijkstra算法非常适合解决单源最短路径问题,尤其是在边权非负的情况下。然而,由于本题涉及动态开放的节点,需要对原始Dijkstra算法进行适当调整,以确保在某一时刻查询时,只考虑那些已经开放的节点。 --- ### 解决方案设计 #### 核心思想 - 每次查询是在某个时间节点之后进行的,因此只有在该时间节点之前开放的节点才能被访问。 - 在处理查询前,将所有开放时间小于等于当前查询时间的节点及其边加入图中,然后运行Dijkstra算法[^1]。 - 可以采用预处理的方式逐步构建图,并根据每个查询的时间顺序动态更新图的状态。 --- ### C++ 实现示例 ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <queue> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; const int MAXN = 105; const int INF = 0x3f3f3f3f; int n, m, q; int open_time[MAXN]; // 每个节点开放的时间 vector<pair<int, int>> adj[MAXN]; // 邻接表:adj[u] 存储 (v, weight) bool visited[MAXN]; int dist[MAXN]; // Dijkstra算法函数,仅考虑开放时间 <= current_time 的节点 void dijkstra(int start, int current_time) { priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq; fill(dist, dist + n, INF); fill(visited, visited + n, false); if (open_time[start] > current_time) return; // 起点未开放 dist[start] = 0; pq.push({0, start}); while (!pq.empty()) { int u = pq.top().second; pq.pop(); if (visited[u]) continue; visited[u] = true; for (auto edge : adj[u]) { int v = edge.first; int w = edge.second; if (open_time[v] > current_time) continue; // 节点v未开放 if (dist[v] > dist[u] + w) { dist[v] = dist[u] + w; pq.push({dist[v], v}); } } } } int main() { cin >> n >> m >> q; for (int i = 0; i < n; ++i) { cin >> open_time[i]; } for (int i = 0; i < m; ++i) { int u, v, w; cin >> u >> v >> w; adj[u].push_back({v, w}); adj[v].push_back({u, w}); // 无向图 } while (q--) { int x, y, t; cin >> x >> y >> t; dijkstra(x, t); if (dist[y] == INF || open_time[y] > t) { cout << -1 << endl; } else { cout << dist[y] << endl; } } return 0; } ``` --- ### 关键实现说明 1. **节点开放判断** 每次运行Dijkstra算法前,检查节点是否在当前时间已开放,未开放的节点不参与计算[^2]。 2. **优先队列优化** 使用`priority_queue`实现最小堆,提高查找最近未访问节点的效率。 3. **动态图构建** 图的邻接表在初始化时就加载了全部边,但在每次Dijkstra执行时通过条件过滤掉尚未开放的节点。 4. **输出结果判断** 若目标节点未开放或不可达,则输出 `-1`。 --- ###
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