[LeetCode]Burst Balloons

最新推荐文章于 2020-04-03 11:11:13 发布

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本文探讨了一个经典的动态规划问题——气球爆破问题。通过逆向思维，文章详细阐述了如何利用动态规划策略高效求解，以获得爆破气球所能获取的最大金币数。

Given n balloons, indexed from 0 to n-1. Each balloon is painted with a number on it represented by array nums. You are asked to burst all the balloons. If the you burst balloon i you will get nums[left] * nums[i] * nums[right] coins. Here left and right are adjacent indices of i. After the burst, the left and right then becomes adjacent.

Find the maximum coins you can collect by bursting the balloons wisely.

Note:
(1) You may imagine nums[-1] = nums[n] = 1. They are not real therefore you can not burst them.
(2) 0 ≤ n ≤ 500, 0 ≤ nums[i] ≤ 100

Example:

Given [3, 1, 5, 8]

Return 167

    nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] -->   [3,8]   -->  [8]  --> []
   coins =  3*1*5      +  3*5*8    +  1*3*8      + 1*8*1   = 167

［思路］动态规划。看到题目最容易想到的是采用回溯遍历解，这样复杂度有O（N！）如此高的复杂度肯定通不过时间限制。

于是尝试采用动态规划。

如果我们采用分治法，计算中间爆掉的气球，然后把集合分成两个。但是考虑到气球爆掉之后相邻气球的位置变化了，对最大硬币数有影响，采用分治法似乎不行，如果正向思考很难找到相互之间的规律。

那么我们反相思考从最后一个爆掉的气球开始，你得到的硬币显然和爆掉的气球没有关系。如果我们考虑开始爆掉的气球太过麻烦，如果我们从最后一个爆掉的气球分析，问题就简单了。

Dp[i][j] 表示打破的气球介于i和 j 之间得到的最大硬币数。显然我们要求的是Dp[0][n-1].

我们动态规划从k个长度出发扩展。每次计算k长度的子集。计算k子集的时候，改变中间爆掉气球，求最大解。

代码如下：

class Solution {
public:
    int maxCoins(vector<int>& nums) {
        int nSize = nums.size()+2;
        nums.insert(nums.begin(),1);
        nums.push_back(1);
        vector<vector<int>> Dp(nSize,vector<int>(nSize,0));
        for(int k=3; k<=nSize; ++k){ //从不同长度字解扩展开来
            for(int left=0; left<=nSize-k; ++left){//确定左右的边界
                int right = left+k-1;
                for(int i=left+1; i<right; ++i){//确定中间爆掉的
                    Dp[left][right] = max(Dp[left][right],nums[i]*nums[left]*nums[right]+Dp[left][i]+Dp[i][right]);
                    //Dp计算
                }
            }
        }
        return Dp[0][nSize-1];
    }
};