【数值分析干货】第四章 非线性方程组求根

压缩映射

定义4.1 压缩映射

$$\{\begin{array}{c}\left|\phi (x_2)-\phi (x_1)\right|=L\left|x_2-x_1\right|\\ L<1\end{array}\Rightarrow \phi (x)为压缩映射.$$

性质

1. 若$\phi (x)$为压缩映射 $\Rightarrow \phi (x)连续$
2. $$\{\begin{array}{c}\phi (x)连续\\ \left|{\phi }^{\prime }(x)\right|⩽L<1\end{array}\Rightarrow \phi (x)为压缩映射.$$

收敛

收敛条件

$$\{\begin{array}{c}\phi (x)\in C^1\left[a,b\right]\\ \left|{\phi }^{\prime }(x)\right|⩽L<1\\ a⩽L⩽b\end{array}\Rightarrow \phi (x)收敛于唯一根\alpha ，\alpha \in \left[a,b\right]$$

$p$阶收敛

定义4.2 迭代法p阶收敛

$$\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{\left|e_{k+1}\right|}{{\left|e_k\right|}^p}=C\ne 0$$
或
$$\left|x_{k+1}-\alpha \right|\approx C{\left|x_k-\alpha \right|}^p$$
这里$e_k=x_k-\alpha$.则称迭代法是p阶收敛的.

定理4.1

$$\{\begin{array}{c}\phi (x)在\alpha 邻域内充分光滑\\ \phi (\alpha )=\alpha \\ {\phi }^{\prime }(\alpha )={\phi }^{\prime \prime }(\alpha )=...={\phi }^{(p-1)}(\alpha )=0\\ {\phi }^{(p)}(\alpha )\ne 0\\ p⩾2\end{array}\Rightarrow \underset{k\to \infty }{\lim }\frac{\left|e_{k+1}\right|}{{\left|e_k\right|}^p}=\frac{1}{p!}\left|{\phi }^{(p)}(\alpha )\right|\ne 0$$

Newton方法

切线法

形式
$$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}$$
收敛
当$\left|x_0-\alpha \right|<\frac{2m_1}{M_2}$时切线法收敛，其中$m_1$为$f^{\prime }(x)$的最小值，$M_2$为$f^{\prime \prime }(x)$的最大值。切线法为一阶收敛（或线性收敛），即$p=1$.

简单Newton法

形式
$$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{M},M=f^{\prime }(x_0)$$
收敛
简单Newton法为线性收敛，即$p=1$.

割线法

形式
$$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}}$$
收敛
$$\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{e_{k+1}}{e_k{e}_{k-1}}=\frac{f^{\prime \prime }(\alpha )}{2f^{\prime }(\alpha )}$$
割线法收敛阶为$p=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

带参$m$重根

因$m$重根，故设$f(x)=(x-\alpha {)}^{m}h(x)$，对$f(x)$求$\frac{1}{m}$次幂有${\left[f(x)\right]}^{\frac{1}{m}}=(x-\alpha ){\left[h(x)\right]}^{\frac{1}{m}}$.变成了单根。因此，便有了以下的迭代公式：
形式
$$x_{k+1}=x_k-\frac{{\left[f(x)\right]}^{\frac{1}{m}}}{{\left({\left[f(x)\right]}^{\frac{1}{m}}\right)}^{\prime }}=x_k-m\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}$$
收敛
该方法为二阶收敛（或平方收敛），即$p=2$.

无参$m$重根

设辅助函数$u(x)=\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}=\frac{(x-\alpha {)}^{m}h(x)}{{\left[(x-\alpha {)}^{m}h(x)\right]}^{\prime }}=(x-\alpha )\bar{h}(x)$.
形式$$x_{k+1}=x_k-\frac{u(x)}{u^{\prime }(x)}$$
收敛
该方法为二阶收敛（或平方收敛），即$p=2$.