数值分析第四章非线性方程组求根_非线性函数满足压缩映射-优快云博客

本文介绍了压缩映射的概念及其性质，并探讨了压缩映射与函数连续性的关系。此外，还详细阐述了几种数值迭代法，包括Newton方法、割线法及针对多重根的改进方法，分析了它们的收敛性和收敛阶。

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压缩映射

定义4.1 压缩映射

{| φ (x 2) - φ (x 1) | = L | x 2 - x 1 | L < 1 \Rightarrow φ (x) 为 压 缩 映 射 .

$\left\{\begin{matrix} \left | \varphi (x_2) - \varphi (x_1) \right | = L\left | x_2 - x_1 \right | \\ L < 1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \varphi (x)为压缩映射.$

性质

若 $\varphi (x)$ 为压缩映射 $\Rightarrow \varphi(x) 连续$
${φ (x) 连续 ∣ ∣ φ' (x) ∣ ∣ ⩽ L < 1 \Rightarrow φ (x) 为压缩映射 .$ $\left\{\begin{matrix} \varphi(x) 连续\\ \left | \varphi'(x) \right | \leqslant L < 1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \varphi (x)为压缩映射.$

收敛

收敛条件

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ φ (x) \in C 1 [a, b] ∣ ∣ φ' (x) ∣ ∣ ⩽ L < 1 a ⩽ L ⩽ b \Rightarrow φ (x) 收 敛 于 唯 一 根 α ， α \in [a, b]

$\left\{\begin{matrix} \varphi (x) \in C^1 \left [ a, b \right ] \\ \left | \varphi'(x) \right | \leqslant L < 1 \\ a \leqslant L \leqslant b \end{matrix}\right. \Rightarrow \varphi (x)收敛于唯一根\alpha，\alpha \in \left [ a, b \right ]$

$p$ 阶收敛

定义4.2 迭代法p阶收敛

lim k \to \infty | e k + 1 | | e k | p = C \neq 0

$\lim_{k\rightarrow \infty} \frac{\left | e_{k+1} \right |} {\left | e_k \right |^p}=C \neq 0$
或

| x k + 1 - α | \approx C | x k - α | p

$\left | x_{k+1}-\alpha \right | \approx C \left | x_k - \alpha \right |^p$
这里

ek=xk−α $e_k = x_k -\alpha$ .则称迭代法是p阶收敛的.

定理4.1

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ φ (x) 在 α 邻 域 内 充 分 光 滑 φ (α) = α φ' (α) = φ'' (α) = . . . = φ (p - 1) (α) = 0 φ (p) (α) \neq 0 p ⩾ 2 \Rightarrow lim k \to \infty | e k + 1 | | e k | p = 1 p ! ∣ ∣ φ (p) (α) ∣ ∣ \neq 0

$\left\{\begin{matrix} \varphi (x)在\alpha 邻域内充分光滑\\ \varphi (\alpha)=\alpha\\ \varphi'(\alpha)=\varphi''(\alpha)=...=\varphi^{(p-1)}(\alpha)=0\\ \varphi^{(p)}(\alpha) \neq0 \\ p \geqslant 2 \end{matrix}\right. \Rightarrow \lim_{k\rightarrow \infty} \frac{\left | e_{k+1} \right |} {\left | e_k \right |^p}= \frac{1}{p!} \left | \varphi^{(p)}(\alpha) \right | \neq 0$

Newton方法

切线法

形式

x k + 1 = x k - f ( x k ) f ' ( x k )

$x_{k+1}=x_k - \frac{f(x_k)} {f'(x_k)}$
收敛
当

|x0−α|<2m1M2 $\left | x_0 - \alpha \right | < \frac{2m_1}{M_2}$ 时切线法收敛，其中

m1 $m_1$ 为

f′(x) $f'(x)$ 的最小值，

M2 $M_2$ 为

f′′(x) $f''(x)$ 的最大值。切线法为一阶收敛（或线性收敛），即

p=1 $p=1$ .

简单Newton法

形式

x k + 1 = x k - f ( x k ) M, M = f' (x 0)

$x_{k+1}=x_k - \frac{f(x_k)} {M},M=f'(x_0)$
收敛
简单Newton法为线性收敛，即

p=1 $p=1$ .

割线法

形式

x k + 1 = x k - f ( x k ) f ( x k ) - f ( x k - 1 ) x k - x k - 1

$x_{k+1}=x_k - \frac{f(x_k)} {\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}}$
收敛

lim k \to \infty e k + 1 e k e k - 1 = f '' ( α ) 2 f ' ( α )

$\lim_{k\rightarrow \infty} \frac{e_{k+1}}{e_k e_{k-1}}=\frac{f''(\alpha)}{2f'(\alpha)}$
割线法收敛阶为

p=1+5√2 $p=\frac{1+\sqrt 5}{2}$ .

带参 $m$ 重根

因 $m$ 重根，故设 $f(x)=(x-\alpha)^mh(x)$ ，对 $f(x)$ 求 $\frac{1}{m}$ 次幂有 $\left [ f(x)\right ]^{\frac{1}{m}}=(x-\alpha) \left[ h(x) \right ]^{\frac{1}{m}}$ .变成了单根。因此，便有了以下的迭代公式：
形式

x k + 1 = x k - [ f ( x ) ] 1 m ( [ f ( x ) ] 1 m ) ' = x k - m f ( x k ) f ' ( x k )

$x_{k+1}=x_k - \frac{\left [ f(x)\right ]^{\frac{1}{m}}} {\left ( \left [ f(x)\right ]^{\frac{1}{m}} \right )'}=x_k-m\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$
收敛
该方法为二阶收敛（或平方收敛），即

p=2 $p=2$ .