插值条件
φ(xi)=f(xi)=yi,i=0,1,...,n
唯一性定理
给定{(xi,yi)|i=0,1,...,n},则满足插值条件的n次多项式
n次拉格朗日插值多项式
Rn(x)=f(n+1)(ξx)(n+1)!ωn+1(x)
ξx∈(a,b)且与x有关
n次拉格朗日基函数
形式
性质
取f(x)=xk,k=0,1,...⇒∑i=0nli(x)xki=xk
特别地,当k=0时,∑i=0nli(x)=1
Newton插值多项式
差商
形式
f[x0,x1]=f(x1)−f(x0)x1−x0
...
f[x0,x1,...,xn]=f[x1,x2,...,xn]−f[x0,x1,...,xn−1]xn−x0
性质
1.线性组合
2.任意排列
3.n⩾k时,f[x0,x1,...,xn−1,x]是n−k次多项式;n<k时,f[x0,x1,...,xn−1,x]=0
4.f[x0,x1,...,xk]=f(k)(ξ)k!
Newton插值多项式
形式
f(x)=Nn(x)+Rn(x)
Nn(x)=f(x0)+(x−x0)f[x0,x1]+...+(x−x0)(x−x1)...(x−xn−1)f[x0,x1,...,xn]
Rn(x)=(x−x0)(x−x1)...(x−xn)f[x0,x1,...,xn,x]
f[x0,x1,...,xn,x]=f(n)(ξx)(n+1)!
递推
Nk+1(x)=Nk(x)+ωk+1(x)f[x0,x1,...,xk+1]
Hermite插值
待续。。。
正则多项式
待续。。。
最小二乘法
给定数据集{(xi,yi)|i=0,1,...,m},经验函数y=∑nj=0φj(x)aj,则φj=(φj(x0),φj(x1),...,φj(xm))T,f=(y0,y1,...,ym)T,(φj,φk)=∑mi=0ρ(xi)φj(xi)φk(xi),(f,φj)=∑mi=0ρ(xi)φj(xi)yi
正则方程组为
⎡⎣⎢⎢⎢⎢(φ0,φ0)(φ1,φ0)...(φn,φ0)(φ0,φ1).....................(φ0,φn)......(φn,φn)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢a0a1...an⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢(f,φ0)(f,φ1)...(f,φn)⎤⎦⎥⎥⎥⎥
拟合曲线
φ∗(x)=p∗n(x)=∑i=0nφ∗i(x)a∗i
均方误差
∥∥δ∗∥∥2=[∑i=0mρi(φ∗(xi)−yi)2]12