数值分析第五章插值与逼近

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#计算机数学 #数值分析 #插值 #最小二乘法 #Newton插值

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本文详细介绍了多项式插值理论，包括拉格朗日插值与Newton插值的方法及应用，同时探讨了最小二乘法原理及其在数据拟合中的作用。

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插值条件

φ (x i) = f (x i) = y i, i = 0, 1, . . ., n

$\varphi (x_i)=f(x_i)=y_i,i=0,1,...,n$

唯一性定理

给定 $\left \{ (x_i,y_i) |i=0,1,...,n \right \}$ ,则满足插值条件的 $n$ 次多项式 $p_n(x)$ 唯一.

$n$ 次拉格朗日插值多项式

L n (x) = \sum k = 0 n l k (x) y k

$L_n(x)=\sum_{k=0}^n l_k(x)y_k$

R n (x) = f ( n + 1 ) ( ξ x ) ( n + 1 ) ! ω n + 1 (x)

$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi_x)}{(n+1)!}\omega_{n+1}(x)$

ξ x \in (a, b) 且 与 x 有 关

$\xi_x\in (a,b)且与x有关$

$n$ 次拉格朗日基函数

形式

l k (x) = \prod j = 0 j \neq k n x - x j x k - x j

$l_k(x)= \prod_{\substack{j=0\\ j\neq k}}^n \frac{x-x_j}{x_k-x_j}$
性质

取 f (x) = x k, k = 0, 1, . . . \Rightarrow \sum i = 0 n l i (x) x k i = x k

$取f(x)=x^k,k=0,1,... \Rightarrow \sum_{i=0}^n l_i(x)x_i^k=x^k$

特 别 地 ， 当 k = 0 时, \sum i = 0 n l i (x) = 1

$特别地，当k=0时, \sum_{i=0}^n l_i(x)=1$

Newton插值多项式

差商

形式

f [x 0, x 1] = f ( x 1 ) - f ( x 0 ) x 1 - x 0

$f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$

. . .

$...$

f [x 0, x 1, . . ., x n] = f [ x 1 , x 2 , . . . , x n ] - f [ x 0 , x 1 , . . . , x n - 1 ] x n - x 0

$f[x_0,x_1,...,x_n]=\frac{f[x_1,x_2,...,x_n]-f[x_0,x_1,...,x_{n-1}]}{x_n-x_0}$
性质
1.线性组合
2.任意排列
3.

n⩾k $n \geqslant k$ 时，

f[x0,x1,...,xn−1,x] $f[x_0,x_1,...,x_{n-1},x]$ 是

n−k $n-k$ 次多项式；

n<k $n < k$ 时，

f[x0,x1,...,xn−1,x]=0 $f[x_0,x_1,...,x_{n-1},x]=0$
4.

f[x0,x1,...,xk]=f(k)(ξ)k! $f[x_0,x_1,...,x_k]=\frac{f^{(k)}(\xi)}{k!}$

Newton插值多项式

形式

f (x) = N n (x) + R n (x)

$f(x) = N_n(x)+R_n(x)$

N n (x) = f (x 0) + (x - x 0) f [x 0, x 1] + . . . + (x - x 0) (x - x 1) . . . (x - x n - 1) f [x 0, x 1, . . ., x n]

$N_n(x)=f(x_0) + (x-x_0)f[x_0,x_1] + ... + (x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{n-1})f[x_0,x_1,...,x_n]$

R n (x) = (x - x 0) (x - x 1) . . . (x - x n) f [x 0, x 1, . . ., x n, x]

$R_n(x)=(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)f[x_0,x_1,...,x_n,x]$

f [x 0, x 1, . . ., x n, x] = f ( n ) ( ξ x ) ( n + 1 ) !

$f[x_0,x_1,...,x_n,x]=\frac{f^{(n)}(\xi_x)}{(n+1)!}$

递推

N k + 1 (x) = N k (x) + ω k + 1 (x) f [x 0, x 1, . . ., x k + 1]

$N_{k+1}(x)=N_{k}(x)+\omega_{k+1}(x)f[x_0,x_1,...,x_{k+1}]$

Hermite插值

待续。。。

正则多项式

待续。。。

最小二乘法

给定数据集 $\left \{ (x_i,y_i) |i=0,1,...,m \right \}$ ,经验函数 $y=\sum_{j=0}^n \varphi_j(x) a_j$ ,则 $\varphi_j=(\varphi_j(x_0),\varphi_j(x_1),...,\varphi_j(x_m))^T$ ， $f=(y_0,y_1,...,y_m)^T$ ， $(\varphi_j,\varphi_k)=\sum_{i=0}^m\rho(x_i)\varphi_j(x_i)\varphi_k(x_i)$ ， $(f,\varphi_j)=\sum_{i=0}^m\rho(x_i)\varphi_j(x_i)y_i$
正则方程组为

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ (φ 0, φ 0) (φ 1, φ 0) . . . (φ n, φ 0) (φ 0, φ 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (φ 0, φ n) . . . . . . (φ n, φ n) ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ a 0 a 1 . . . a n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ (f, φ 0) (f, φ 1) . . . (f, φ n) ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$\begin{bmatrix} (\varphi_0,\varphi_0) & (\varphi_0,\varphi_1) & ... & (\varphi_0,\varphi_n)\\ (\varphi_1,\varphi_0) & ... & ... & ...\\ ... & ... & ... & ...\\ (\varphi_n,\varphi_0) & ... & ... & (\varphi_n,\varphi_n) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_0\\ a_1\\ ...\\ a_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} (f,\varphi_0)\\ (f,\varphi_1)\\ ...\\ (f,\varphi_n) \end{bmatrix}$
拟合曲线