数值分析 第五章 插值与逼近

本文详细介绍了多项式插值理论,包括拉格朗日插值与Newton插值的方法及应用,同时探讨了最小二乘法原理及其在数据拟合中的作用。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

插值条件

φ(xi)=f(xi)=yi,i=0,1,...,n
唯一性定理

给定{(xi,yi)|i=0,1,...,n},则满足插值条件的n次多项式pn(x)唯一.

n次拉格朗日插值多项式

Ln(x)=k=0nlk(x)yk

Rn(x)=f(n+1)(ξx)(n+1)!ωn+1(x)

ξx(a,b)x

n次拉格朗日基函数

形式

lk(x)=j=0jknxxjxkxj

性质
f(x)=xk,k=0,1,...i=0nli(x)xki=xk

k=0,i=0nli(x)=1

Newton插值多项式

差商

形式

f[x0,x1]=f(x1)f(x0)x1x0

...

f[x0,x1,...,xn]=f[x1,x2,...,xn]f[x0,x1,...,xn1]xnx0

性质
1.线性组合
2.任意排列
3.nk时,f[x0,x1,...,xn1,x]nk次多项式;n<k时,f[x0,x1,...,xn1,x]=0
4.f[x0,x1,...,xk]=f(k)(ξ)k!
Newton插值多项式

形式

f(x)=Nn(x)+Rn(x)

Nn(x)=f(x0)+(xx0)f[x0,x1]+...+(xx0)(xx1)...(xxn1)f[x0,x1,...,xn]

Rn(x)=(xx0)(xx1)...(xxn)f[x0,x1,...,xn,x]

f[x0,x1,...,xn,x]=f(n)(ξx)(n+1)!

递推

Nk+1(x)=Nk(x)+ωk+1(x)f[x0,x1,...,xk+1]

Hermite插值

待续。。。

正则多项式

待续。。。

最小二乘法

给定数据集{(xi,yi)|i=0,1,...,m},经验函数y=nj=0φj(x)aj,则φj=(φj(x0),φj(x1),...,φj(xm))Tf=(y0,y1,...,ym)T(φj,φk)=mi=0ρ(xi)φj(xi)φk(xi)(f,φj)=mi=0ρ(xi)φj(xi)yi
正则方程组为

(φ0,φ0)(φ1,φ0)...(φn,φ0)(φ0,φ1).....................(φ0,φn)......(φn,φn)a0a1...an=(f,φ0)(f,φ1)...(f,φn)

拟合曲线
φ(x)=pn(x)=i=0nφi(x)ai

均方误差
δ2=[i=0mρi(φ(xi)yi)2]12
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值