计算方法（二）：非线性方程求根

非线性方程求根

主要讨论单变量非线性方程：
$$f(x)=0(2.1)$$的求根问题， $x\in R,f(x)\in C[a,b]$.

（1）“根在哪里”，即确定根所在的区间，进行根的隔离。

（2）“根的求法”，通过数值方法，近似求解，并保证精度要求。

若 $f(x)\in C[a,b]$ 且 $f(a)f(b)<0$ ，根据闭区间上连续函数性质可知 $f(x)=0$ 在 $(a,b)$ 内至少有一个实根，称 $[a,b]$ 为方程（2.1）的有根区间。

二分法

若 $f(x)\in C[a,b]$ 且 $f(a)f(b)<0$ ，根据连续函数性质可知 $f(x)=0$ 在 $(a,b)$ 内至少有一个实根 $x^{\ast }$ 。

考察有根区间 $[a,b]$ ，取中点 $x_0=\frac{a+b}{2}$ 将区间分为两半。若 $f(x_0)=0$ ，则 $x_0$ 为 $f(x)=0$ 的实根 $x^{\ast }$ 。若$f(x_0)\ne 0$ ，检查 $f(x_0)$ 与 $f(a)$ 是否同号，即不等式：
$$f(a)f(x_0)<0$$是否成立。如果成立，说明所求的根 $x^{\ast }$ 在 $x_0$ 的左侧，这时令 $a_1=a,b_1=x_0$ ；否则 $x^{\ast }$ 必在 $x_0$ 右侧，这时令$a_1=x_0,b_1=b$ ，两种情况都能得到一个新的有根区间 $[a_1,b_1]$ ，其长度仅为 $[a,b]$ 的一半。

对缩小了的有根区间 $[a_1,b_1]$ 用中点 $x_1=\frac{a_1+b_1}{2}$再分成两半，然后判断 $x_1$ 是不是根，并用
$$f(a)f(x_1)<0$$是否成立来判断所求的根 $x^{\ast }$ 在 $x_1$ 的哪一侧，从而又确定一个新的有根区间 $[a_2,b_2]$ ，其长度是 $[a_1,b_1]$ 的一半。

如此反复二分下去，可以得出一系列有根区间：
$$[a,b]\supset [a_1,b_1]\supset [a_2,b_2]\supset \cdots \supset [a_k,b_k]\supset \cdots$$其中区间每个区间都是前一个区间的一半，从而 $[a_k,b_k]$ 的长度为
$$b_k-a_k=\frac{b-a}{2^k}$$当 $k\to \infty$ 时，此区间长度趋于零，如果二分过程无限地继续下去，这些区间最终必收缩于一点 $x^{\ast }$，为所求的根。

每次二分后，取有根区间 $[a_n,b_n]$ 的中点 $x_n=\frac{a_n+b_n}{2}$ 作为根的近似值，可以得到一个近似根的序列：$x_0,x_1,x_2,\cdots$ ，该序列必以根 $x^{\ast }$ 为极限。

给定一个预定的精度 $\epsilon$ ，由 $x^{\ast }\in [a_n,b_n]$ ，可得
$$|x^{\ast }-x_n|\le \frac{1}{2}(b_n-a_n)=\frac{1}{2^{n+1}}(b-a)$$只要 $n$ 充分大，使得
$$\frac{1}{2^{n+1}}(b-a)<\epsilon ,即n>[\ln \frac{b-a}{\epsilon }/\ln 2]$$就有
$$|x^{\ast }-x_n|<\epsilon$$$x_n$ 就是一个满足精度要求的近似根。

注：在实际计算中，若 $|f(x_n)|$ 很小：$|f(x_n)|<\delta$（$\delta$ 为给定的误差限），则 $x_n$ 就可作为近似根。

二分法的优点是算法简单，且总是收敛的，缺点是事先要确定有根区间，且收敛较慢，且不能用于求复根或偶数重根，一般不单独将其用于求根，只用其求根的一个较好的近似值。

迭代法

不动点迭代法（简单迭代法）

将方程 $f(x)=0$ 转化为：
$$x=g(x)$$若 $x^{\ast }$ 满足 $f(x^{\ast })=0$，则 $x^{\ast }=g(x^{\ast })$ ，称 $x^{\ast }$ 为函数 $g(x)$ 的一个不动点。

选择初始近似值 $x_0$，代入得：$x_1=g(x_0)$。

反复迭代：$x_{k+1}=g(x_k)$，$k=0,1,2,\cdots$，称 $g(x)$ 为迭代函数，可得一个迭代序列{ $x_k$ }。

若对于 $x_0\in [a,b]$，该迭代序列有极限：${\lim }_{k\to \infty }{x}_k=x^{\ast }$，则称迭代法收敛，且 $x^{\ast }=g(x^{\ast })$ 为 $g(x)$ 的不动点。若迭代序列发散，则称迭代法发散。

不动点迭代法的基本思想：将隐式方程 $f(x)=0$ 化为显式的计算公式 $x=g(x)$ ，然后通过迭代，求方程近似根。

迭代法几何意义： 方程 $x=g(x)$ 的求根问题在 $xy$ 平面上就是要确定曲线 $x=g(x)$ 与直线 $y=x$ 的交点 $P^{\ast }$。

迭代法收敛的充分条件

压缩映照： 在区间[a,b]上定义的函数 $g(x)$，若存在常数 $L,0\le L\le 1$，使得 $\forall x,y\in [a,b]$，都有：
$$|g(x)-g(y)|\le L|x-y|$$则称映照 $g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上是压缩的。

不动点的存在唯一性及误差分析

定理1： 设 $g(x)\in C[a,b]$ 满足以下两个条件：（1）任意 $x\in [a,b]$，有 $g(x)\in [a,b]$；（2）存在常数 $L,0\le L\le 1$，使对任意 $x,y\in [a,b]$，有
$$|g(x)-g(y)|\le L|x-y|$$则：（1）$x=g(x)$ 在 $[a,b]$ 上存在唯一实根 $x^{\ast }$；（2）对任意初值 $x_0\in [a,b]$，由 $x_{k+1}=g(x_k)$ 得到的迭代序列 { $x_k$}收敛到 $x=g(x)$ 在 $[a,b]$ 的唯一实根 $x^{\ast }$，并有误差估计：
$$\begin{gathered} |x^{\ast }-x_k|\le \frac{1}{1-L}|x_{k+1}-x_k| \\ |x^{\ast }-x_k|\le \frac{L^k}{1-L}|x_1-x_0| \end{gathered}$$

证明如下：

先证不动点存在性。
$$\begin{gathered} 定义函数:\phi (x)=g(x)-x \\ 显然\phi (x)\in C[a,b]。因为a\le g(x)\le b，有 \\ \phi (a)=g(a)-a\ge 0,\phi (b)=g(b)-b\le 0 \\ 由连续函数性质可知存在x^{\ast }\in (a,b),使得\phi (x^{\ast })=0,即g(x^{\ast })=x^{\ast },为不动点 \end{gathered}$$
再证唯一性。
$$\begin{gathered} 设x_1^{\ast }及x_2^{\ast }\in [a,b]是g(x)的两个不同的不动点，则 \\ |x_1^{\ast }-x_2^{\ast }|=|g(x_1^{\ast })-g(x_2^{\ast })|\le L|x_1^{\ast }-x_2^{\ast }|<|x_1^{\ast }-x_2^{\ast }|,矛盾 \end{gathered}$$
误差估计：
∣ x k − x ∗ ∣ = ∣ g ( x k − 1 ) − g ( x ∗ ) ∣ ≤ L ∣ x k − 1 − x ∗ ∣ ≤ ⋯ ≤ L k ∣ x 0 − x ∗ ∣ ∣ x k + 1 − x k ∣ = ∣ g ( x k ) − g ( x k − 1 ) ∣ ≤ L ∣ x k − x k − 1 ∣ ≤ L k ∣ x 1 − x 0 ∣ 于 是 ， 对 任 意 正 整 数   p , 有 ∣ x k + p − x k ∣ ≤ ∣ x k + p − x k + p − 1 ∣ + ∣ x k + p − 1 − x k + p − 2 ∣ + ⋯ + ∣ x k + 1 − x k ∣ ≤ ( L k + p − 1 + L k + p − 2 + ⋯ + L k ) ∣ x 1 − x 0 ∣ 令   p → ∞ ， 注 意 到   lim ⁡ p → ∞