P3768简单的数学题——从莫比乌斯反演到欧拉反演

Description

求$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}ij\gcd (i,,j)$$的值。

请将答案对$P(5\times 10^8\le P\le 1.1\times 10^9)$取模。

Solution

${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^{n}ij\gcd (i,j)$

$={\sum }_{k=1}^{n}k{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^{n}ij[\gcd (i,j)=k]$

$={\sum }_{k=1}^n{k}^3{\sum }_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }{\sum }_{j=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }ij[\gcd (i,j)=1]$

第二个$\sum$前面的系数为什么是$k^3$呢？因为，后面所有的$ij$都被减小了$k$倍(因此变成了$[\gcd (i,j)]=1$)，以及它原来的系数$k$，所以新系数应该是$k\times k\times k=k^3$。

继续推式子：

$={\sum }_{k=1}^n{k}^3{\sum }_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }{\sum }_{j=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }ij[\gcd (i,j)=1]$

$={\sum }_{k=1}^n{k}^3{\sum }_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }i{\sum }_{j=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }j[\gcd (i,j)=1]$

可以发现，第三个$\sum$实际要计算所有不大于$i$且与$i$互质的数之和。根据$\gcd (i,j)=\gcd (i,i-j)$，可以发现，与$i$互质的数能够形成和为$n$的$\frac{\phi n}{2}$对。所以这些数的和为$\frac{n\phi n}{2}$。

带入，得

$={\sum }_{k=1}^n{k}^{3}2{\sum }_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }i\times \frac{i\ast \phi (i)}{2}$

之所以这里要乘上一个$2$，是因为$(3,5)(5,3)$是要被算$2$次的，但实则只被算了$1$次。我们抵消掉里面的那个$2$，可以得到：

$={\sum }_{k=1}^n{k}^3{\sum }_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }{i}^2\ast \phi (i)$

于是，我们$O(n)$处理出$i^2\times \phi (i)$的前缀和，然后做一遍整除分块计算此式即可。

总时间复杂度$O(n)$，无法通过本题。

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可以发现，第二个$\sum$里面是一个前缀和的形式……是否能用杜教筛优化呢？
答案是可以的。设第一个函数为$f(x)=x^2\phi (x)$，第二个函数为$g(x)$，考虑它们卷积的形式

$$\sum _{x|d}f(x)g(\frac{d}{x})$$

由于$f(x)=x^2\phi (x)$，其中的那个$x^2$看起来很难看，我们尝试把它消掉。令$g(x)=x^2$即可。

${\sum }_{x|d}f(x)g(\frac{d}{x})$

$={\sum }_{x|d}{x}^2\phi (x)(\frac{d}{x}{)}^2$

$=n^2{\sum }_{x|d}\phi (x)$

由于$\phi \ast I=id$，这个式子可以被进一步简写为$n^3$。

根据杜教筛的套路，我们只需要快速计算$f\times g$的前缀和以及$g$的前缀和即可快速计算$f$的前缀和。前者相当于三次方和，后者相当于平方和，可以套用下面的公式进行计算:

$$\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{i(i+1)(2i+1)}{6}$$
$$\sum _{i=1}^n{i}^3=\frac{(i^2(i+1{)}^2)}{4}$$

通过线性筛筛出前$2n^{\frac{2}{3}}$至$3n^{\frac{2}{3}}$个答案时复杂度最优，常数最小。

总时间复杂度$O(n^{\frac{2}{3}})$。

Summary

可以说每一步都是套路。

首先，我们使用了欧拉反演，将式子化为了${\sum }_{k=1}^n{k}^3{\sum }_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }{i}^2\ast \phi (i)$；然后，我们成功构造出了$g$函数，使得杜教筛有了用武之地。

有时，莫比乌斯反演或许很可爱，但是转变一下思想，使用欧拉反演，也许式子会被简化得更美妙。