Python中矩阵SVD分解及还原

python中SVD分解及还原:

import numpy as np
from numpy import linalg as la
S = np.zeros([5,5])
A=np.random.randint(1,25,[5,5])
u,sigma,vt = la.svd(A)
print(A)
for i in range(5):
    S[i][i] = sigma[i]
tmp = np.dot(u,S)
print(np.dot(tmp,vt))

这里写图片描述

### 奇异值分解SVD)算法的原理与实现 #### SVD 的基本定义 奇异值分解(Singular Value Decomposition, SVD)是一种强大的线性代数工具,能够将任意大小的矩阵 \( A \) 分解为三个特定形式的矩阵乘积。这种分解可以表示为: \[ A = U \Sigma V^T \] 其中: - \( U \) 是一个左奇异矩阵,是一个正交矩阵; - \( \Sigma \) 是一个对角矩阵,包含了矩阵 \( A \) 的奇异值; - \( V^T \) 是右奇异矩阵转置,也是一个正交矩阵。 这一分解的核心在于找到这些矩阵的具体构成[^2]。 --- #### SVD 的计算过程 为了完成 SVD 计算,通常需要以下几个步骤: 1. **构建协方差矩阵** 对于给定的矩阵 \( A \),可以通过以下方式构造两个重要的辅助矩阵: - 左侧协方差矩阵:\( AA^T \) - 右侧协方差矩阵:\( A^TA \) 2. **求解特征值和特征向量** - 针对方阵 \( A^TA \) 和 \( AA^T \),分别求解它们的特征值和对应的特征向量。 - 特征值的平方根即为奇异值,并按降序排列存入对角矩阵 \( \Sigma \)[^1]。 3. **生成正交矩阵** - 将右侧协方差矩阵 \( A^TA \) 的特征向量组成矩阵 \( V \)。 - 将左侧协方差矩阵 \( AA^T \) 的特征向量组成矩阵 \( U \)。 4. **验证分解结果** 使用得到的 \( U \), \( \Sigma \), 和 \( V^T \) 还原原始矩阵 \( A \),并确认误差是否满足精度要求。 --- #### Python 中的 SVD 实现 以下是基于 NumPy 库的一个简单 SVD 实现示例: ```python import numpy as np # 定义输入矩阵 A A = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]]) # 执行 SVD 分解 U, sigma, VT = np.linalg.svd(A) # 构建对角矩阵 Σ Sigma = np.zeros((A.shape[0], A.shape[1])) np.fill_diagonal(Sigma, sigma) print("U:\n", U) print("\nΣ:\n", Sigma) print("\nVT:\n", VT) # 验证还原后的矩阵 reconstructed_A = U @ Sigma @ VT print("\nReconstructed Matrix A:\n", reconstructed_A) ``` 此代码展示了如何利用 `numpy` 提供的功能快速执行 SVD 并验证其准确性。 --- #### 几何意义与应用领域 从几何角度来看,SVD 能够揭示矩阵的本质特性。它不仅提供了关于数据分布的信息,还能够在低秩近似中起到重要作用。例如,在图像处理中,通过对高维度的数据进行截断 SVD 处理,可以有效降低存储需求而不显著影响质量[^1]。 此外,SVD 在许多实际场景中有广泛应用,比如推荐系统的 ALS 算法、主成分分析(PCA)、以及信号去噪等领域均依赖于此技术[^4]。 --- #### PCA 与 SVD 的关系 在主成分分析(Principal Component Analysis, PCA)中,仅需关注右奇异矩阵 \( V \),因为它是用来描述列空间变化的主要因素。相比之下,左奇异矩阵 \( U \) 更适合用于行空间的变化研究[^3]。 ---
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