文章通过反证法证明了辗转相除法的基本原理，即gcd(a,b)等于gcd(b,a%b)，其中涉及到整数的除法和余数，以及互质的概念。证明过程中假设最大公约数为p，并推导出矛盾，从而确认等式的正确性。
1.辗转相除法的证明
证明：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
证：假设gcd(a,b)=p, 则a=a’×p, b=b’×p.gcd(a’,b’)=1
∴ a%b=a - (a/b)×b = p×(a’-(a/b)×b’)
而 b = p × b’
∴ gcd(b, a%b) = gcd(p×b’,p×(a’-(a/b)×b’))
要证明gcd(b’,a’-(a/b)×b’)=1.
使用反证法
假设gcd(b’,a’-(a/b)×b’)=d,d ≠ 1
则 b’可以写为b’=b’‘×d
a’-(a/b)×b’可以写为a’-(a/b)×b’=d×c
根据上式此时，a’=(a/b)×b’+d×c=d×(b’‘×(a/b)+c)
由此推出,a’和b’是不互质的，因为有一个公约数d，
与前面提到的gcd(a’,b’)=1矛盾!
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