最邻近点对问题(Closest-Pair Problem)：三维的分治解法详解

这是该系列的第三篇。一维、二维的最邻近点对问题（Closest-Pair Problem）：戳这里
PS：建议先快速浏览低维的分治解法，因为各维度的解决思路具有高度的关联性。如果还没有弄清二维解法仍要执意往下看，最好先给头发买好保险。

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1 问题描述

对于三维点$p_i=(x_{i1},x_{i2},x_{i3})$，任意两点的欧几里得距离为$\sqrt{{\sum }_{k=1}^3(x_{ik}-x_{jk}{)}^2}$。

暴力算法与二维完全一致，枚举所有可能的点对，计算距离并选择最小距离的点对返回。它的时间复杂度是$O(n^2)$。

同样，借助分治思想可以把复杂度降到$O(nlogn)$。

2 算法描述

2.1 开始前

首先对于一个乱序的点集$P$，我们需要分别对$x$和$z$进行排序，得到$P_x$和$P_z$。前者用于divide，后者用于merge。不对$y$进行排序的原因是，我们将通过切片来减少这个维度上的重复工作。

2.2 Divide步骤

这一步与二维情况完全一致，只不过按$y$的情况变为了按$z$。如理解二维的Divide，可跳过。

第一步：拆分

对于任意的点集$P$，其中点的数量$|P|=n$，类似于二维情况，记$\lfloor n/2\rfloor$为$mi$，可以在$P_x$中第$mi$个点的坐标（记为$x^{\ast }$）处，将其分为$Q$区与$R$区。其中坐标小于等于$x^{\ast }$的点放入$Q$区，大于的点放入$R$区。

准确来说，分区的标准是点在$P_x$中的位置，小于等于$mi$划入$Q$区，反之$R$区，不过按$x^{\ast }$来理解会比较方便。

第二步: 维护有序数组

对于$Q$区和$R$区，我们想要维护4个有序数组：按$x$或$z$排好序的$Q_x$， $Q_z$， $R_x$，$R_z$。其中，按$x$排序的数组，$Q_x$和$R_x$，按索引就可以分开了。

而$Q_z$和$R_z$，需要新建数组，顺次遍历$P_z$并判断从属的区域来构建，花费$O(n)$时间，且它们自然就是有序的。注意，如果你想通过$Q_x$和<