最邻近点对问题(Closest-Pair Problem)：一维的分治解法详解

这是该系列的第一篇。二维、三维的最邻近点对问题（Closest-Pair Problem）：戳这里

---

1 问题描述

一维下，每个点即是一个数，所有点线性分布于x轴上，如图所示：

很明显，最近点对一定是相邻的两个点，所以暴力解法就是依次检查$p_i,p_{i+1}$，最后返回距离最小的点对即可。暴力算法的时间复杂度是$O(n)$。

其实，可以发现最邻近点对问题非常适合拆分成子问题，利用分治思想可以把这一步的时间复杂度降到$O(logn)$。

2 算法描述

Divide步骤：

对于任意的点集$P$，其中点的数量$|P|=n$，那么可以在第$\lfloor n/2\rfloor$个点的坐标（记为$x^{\ast }$）处，将其分为$Q$区与$R$区。（实际中，如果P是有序的，那么只需要传递区间索引即可，故它是$O(1)$的）

现在原问题就变成了两个完全相同的子问题。最终只有小于等于3个点时（或其他小常数，重要的是消耗是常数时间的），可以直接比较每个点对得出答案。

Merge步骤：

假设$Q$区找到了局部最邻近点 { q 1 , q 2 } \{q_1, q_2\} { q1​,