最邻近点对问题(Closest-Pair Problem)：二维的分治解法详解

这是该系列的第二篇。一维、三维的最邻近点对问题（Closest-Pair Problem）：戳这里
PS：建议先快速浏览一维问题的分治解法。因为各维度的解决思路具有高度的关联性。

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1 问题描述

现在二维下，点不再是线性分布了。对于两个二维点$p_i=(x_i,y_i)$和$p_j=(x_j,y_j)$，它们之间的欧几里得距离为$\sqrt{(x_i-x_j{)}^2+(y_i-y_j{)}^2}$。

暴力算法只能枚举每个不同的点对。它的时间复杂度是$O(n^2)$。

但是我们可以沿用一维的思维模式来解决这个问题。并且这时，由于排序也需要$O(nlogn)$，按照分治思想可以把暴力法的复杂度降到$O(nlogn)$。

2 算法描述

2.1 开始前

首先对于一个乱序的点集$P$，我们需要分别对$x$和$y$进行排序，得到$P_x$和$P_y$（注意是分别，而不是先后）。前者用于divide，后者用于merge。

2.2 Divide步骤

▲ 第一步：拆分

对于任意的点集$P$，其中点的数量$|P|=n$，类似于一维情况，可以$P_x$中第$\lfloor n/2\rfloor$个点的坐标（记为$x^{\ast }$）处，将其分为$Q$区与$R$区。

准确来说，分区的标准是点在$P_x$中的位置，小于等于$\lfloor n/2\rfloor$划入$Q$区，反之$R$区。不过按$x^{\ast }$来理解会比较方便。

▲ 第二步: 维护有序数组

对于$Q$区和 R R <