时间复杂度：对于O(logn)对数阶的理解（含推导）

对数阶 $O(logn)$

先复习下对数底数的定义

对数底数的定义:

对数函数的一般形式为：

$${\log }_{b}n=x\text{<=>}{b}^x=n$$

其中：

• b 是对数的底数；
• n 是输入规模。

常见的对数底数有：

• 自然对数（底数为 e）：$\ln n={\log }_{e}n$；
• 二进制对数（底数为 2）：${\log }_{2}n$；
• 常用对数（底数为 10）：${\log }_{10}n$。

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二分法案例

时间复杂度的定义：算法运行所需的时间，通常用输入规模 ( n ) 的函数表示。

• 时间复杂度：二分法的时间复杂度是 ( $O({\log }_{2}n)$ )，这归因于查找范围每次缩小一半的特性。
• 空间复杂度：二分法的空间复杂度为 ( $O(1)$ )，因为不需要额外的存储空间。
• 效率：二分法适用于静态、排序好的数组，是解决查找问题的经典方法，远优于线性查找。

推导步骤：

（1）每次操作的工作量

在每一步中，二分法的主要操作是：

• 计算中点索引：$(\text{mid}=\lfloor \frac{\text{left}+\text{right}}{2}\rfloor )$
• 与目标值 ( x ) 进行一次比较。

这些操作的时间复杂度是常数级别的，即 ( O(1) )。

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（2）查找范围的变化

二分法每次迭代将查找范围缩小一半：

• 初始范围是 ( n )（数组长度）。
• 第一次迭代后，范围变为 $(\frac{n}{2})$。
• 第二次迭代后，范围变为 $(\frac{n}{4})$。
• 以此类推，每次迭代范围缩小为原来的 $(\frac{1}{2^k})$，其中 ( $k$ ) 是迭代次数。

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（3）终止条件

二分法的查找终止条件是：

• 要么找到目标值；
• 要么查找范围缩小到 ( 1 )（即 ( $\frac{n}{2^k}=1)$）。

解出 ( k )：$[\frac{n}{2^k}=1⟹2^k=n⟹k={\log }_{2}n]$

因此，二分法的最大迭代次数是 ( ${\log }_{2}n$ )。

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（4）总时间复杂度

由于每次迭代的操作时间是 ( $O(1)$ )，而最多需要 ( ${\log }_{2}n$ ) 次迭代，所以二分法的时间复杂度为：
$[O({\log }_{2}n)]$

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💡 $O(logn)$ 的底数

在时间复杂度的表示中，底数对于 $O(\log n)$ 的意义通常是无关紧要的。这是因为在计算复杂度时，我们关心的是增长的阶数，而不是精确的数值。下面从多个角度解释为什么 $O(\log n)$ 的底数并不重要，以及它在分析中的具体作用。

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$O(logn)$ 的底数：

对数阶常出现于基于分治策略的算法中，体现了“一分为多”和“化繁为简”的算法思想。它增长缓慢，是仅次于常数阶的理想的时间复杂度。

以下是一分为m的迭代次数的k的推导：

$$\frac{n}{m^k}=1⟹m^k=n⟹k={\log }_{m}n$$

含义：

• m：一分为m
• n：n个数据
• k：迭代次数

准确来说，“一分为 m”对应的时间复杂度是 $O(lo{g}_{m}n)$ 。而通过对数换底公式，我们可以得到具有不同底数、相等的时间复杂度：

$$O(lo{g}_{m}n)=O(\frac{{\log }_{k}n}{{\log }_{k}m})=O({\log }_{k}n)$$

由于底数 ${\log }_{k}m$ 为常数，因此可以忽略。最后将对数阶直接记为 $O(\log n)$