实变函数复习重点

最新推荐文章于 2022-11-12 18:46:53 发布

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本文总结了实变函数的重要概念，包括$Cantor$三分集、测度、可测性、可测函数、依测度收敛等。同时，介绍了多个核心定理，如$Eropob$定理、$JIyIm HH$定理、$Lebesgue$定理等，涵盖了函数的收敛性、连续性和积分理论。

实变函数复习重点

一、重要概念

1：$Cantor$三分集：

（1）它是完备集，无孤立点；

（2）它没有内点，是舒朗集合；

（3）它的测度为0；

（4）它的基数为$c$:

2：测度：

设$E$是${ {R}^{n}}$中任一点集，对于每一列覆盖$E$的开区间$\underset{i=1}{\overset{\infty }{\mathop{\bigcup }}}\,{ {I}_{i}}\supset E$，作出它的体积总和

$\mu =\sum\limits_{i=1}^{\infty }{\left| { {I}_{i}} \right|}$（$\mu $可以等于$+\infty $，不同的区间列一般有不同的$\mu $），所有这一切的$\mu $组成一个下方有界的数集，它的下确界（完全由$E$确定）称为$E$的$Lebesgue$外测度，简称$L$测度或外测度，记为${ {m}^{*}}E$，即${ {m}^{*}}E=\underset{E\subset \underset{i=1}{\overset{\infty }{\mathop{\bigcup }}}\,{ {I}_{i}}}{\mathop{\inf }}\,\sum\limits_{i=1}^{\infty }{\left| { {I}_{i}} \right|}$

3：可测

设$E$是${ {R}^{n}}$中点集，如果对任一点集$T$都有${ {m}^{*}}T={ {m}^{*}}(T\bigcap E)+{ {m}^{*}}(T\bigcap { {E}^{c}})$，则称$E$是$L$可测的。

4：可测函数

设$f(x)$是定义在可测集$E\subset { {R}^{n}}$的实函数，如果对于任何有限实数$a$，$E[f>a]$都是可测集，则称$f(x)$是定义在$E$上的可测函数。