n个结点的二叉树一共有多少种形态

最新推荐文章于 2025-05-20 15:13:58 发布
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分类专栏： 部分算法题目
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Cailing_CL/article/details/118699577
本文探讨了二叉树形态的数量与Catalan数之间的联系。对于有n个节点的二叉树，当n大于等于2时，其形态数可以通过Catalan数的公式来计算。博客详细解释了如何利用递归和组合数学的方法理解这一关系，并介绍了Catalan数在计算机科学中的应用。

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记n个节点的二叉树形态个数为A[n]

1）0个节点的二叉树只有1种形态，A[0]=0；1个节点的二叉树只有1种形态，A[1]=1

2）n个节点（n>=2）的二叉树有A[n]={\sum_{m=0}^{n-1}}(A[m]+A[n-1-m])，求和的每一项，分别表示根的左子树为m个节点、右子树为 n-1-m个节点的情况。（总共n个节点，左子树m个节点，根节点有1个，那么右子树的节点数为n-1-m个）

刚好就是catalan数，直接用catalan数的公式：h(n)=C_{2n}^{n} /(n+1)=(2n)!/n!*(n+1)!

数据结构：n个结点最多可以构建多少棵树
数据结构和算法教程（C语言版）
01-03 1657
本节要讨论的是当给定 n（n>=0）个结点时，可以构建多少种形态不同的树。如果两棵树中各个结点的位置都一一对应，可以说这两棵树相似。如果两棵树不仅相似，而且对应结点上的数据也相同，就可以说这两棵树等价。本节中，形态不同的树指的是互不相似的树。前面介绍过，对于任意一棵普通树，通过孩子兄弟表示法的转化，都可以找到唯一的一棵二叉树与之对应。所以本节研究的题目也可以转化成：n 个结点可以构建多少种形态不同的二叉树。
N个结点可构成多少不同的二叉树
SIMPLE ・ STUPID
10-18 4497
题目：树的形态 时间限制1000 ms，内存限制256000 kB，代码长度限制8000 B 每行输入一个自然数n，对应输出两行，每行一个数字，分别是：节点为n的二叉树有____种。如果每个节点可能有红、黑两种颜色，有____种。 输入示例： 1 2 输出示例： 1 2 2 8 思路：此题即为Catalan数的应用之一：N个结点可以构成多少不同的二叉树
n个结点，不同形态的二叉树（数目+生成）
aipiannian6725的博客
12-12 2746
题目链接： 　　不同的二叉查找树：http://www.lintcode.com/zh-cn/problem/unique-binary-search-trees/ 　　不同的二叉查找树 II：http://www.lintcode.com/zh-cn/problem/unique-binary-search-trees-ii/ 不同形态二叉树的数目： 样例 　　给出n = 3...
4个结点组成的二叉树有__不同的形态
qq_44343213的博客
04-29 6103
我们定义f(n)表明结点为n的二叉树的形态数 一个结点只有一种情况，记f(1)=1 两个结点的二叉树，固定一个结点后，剩下左右子树各有一种情况，f(2)=f(1)+f(1) 如果有三个结点，我们如果固定两个结点是不太好的，因为两个结点的二叉树有好多种，不便于推理。 我们固定根节点，那么剩下两个结点我们可以分配给左右子树，分别有三种情况 左子树两个右子树零个 左右子树分别一个 右子树两个左子树一个 那么f(3) = f(2)*f(0)+f(1)*f(1)+f(0)*f(2) 那么f(0)是多少呢，没有
数据结构——树（二叉树）
最新发布
weixin_73165588的博客
05-20 261
（1）定义：有n个结点的有限集合，有且仅有一个特殊的结点叫树的根结点，若n>1其余结点被分为两个互不相交的自己，分别称之为左右子树，并且左右子树都是二叉树（2）二叉树的5种基本形态。
n个结点共可构造多少种二叉树？
叶现一的专栏
04-13 6299
n个结点共可构造多少种二叉树？ n个结点可构造二叉树的数目为一个Catalan数： Catalan序列即序列  C0,C1,C2,...,Cn,...其中       Cn=C(2n,n)/(n+1)  注：C(n,r)=n!/[r!(n-r)!]  
n个节点组成二叉树的形态有几种
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n个节点n组成的二叉树
n个节点的二叉树有多少种形态（Catalan数）
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08-01 9243
分析过程： （1）先考虑只有一个节点的情形，设此时的形态有f(1)种，那么很明显f(1)=1 （2）如果有两个节点呢？我们很自然想到，应该在f(1)的基础上考虑递推关系。那么，如果固定一个节点后，左右子树的分布情况为1=1+0=0+1，故有f(2) = f(1) + f(1) （3）如果有三个节点，（我们需要考虑固定两个节点的情况么？当然不，因为当节点数量大于等于2时，无论你如何固定，其形态必然有多种）我们考虑固定一个节点，即根节点。好的，按照这个思路，还剩2个节点，那么左右子树的分布情况为2=2+0.
n个节点的二叉树有多少种形态
04-03 9527
【n个节点的二叉树有多少种形态（Catalan数）】分析过程： （1）先考虑只有一个节点的情形，设此时的形态有f(1)种，那么很明显f(1)=1（2）如果有两个节点呢？我们很自然想到，应该在f(1)的基础上考虑递推关系。那么，如果固定一个节点后，左右子树的分布情况为1=1+0=0+1，故有f(2) = f(1) + f(1)（3）如果有三个节点，（我们需要考虑固定两个节点的情况么？当然不，因为当节...
n个结点下，可构成多少种不同形态的二叉树
qq_44902646的博客
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n个结点下，可构成多少种不同形态的二叉树 先来回顾下“树的定义”中的部分描述： 树是由唯一的根和若干棵互不相交的子树组成的。其中，每一棵子树又是一棵树，也是由唯一的根结点和若干颗互不相交的子树组成的。由此可知，树的定义是递归的，即在树的定义中又用到了树的定义。 我们知道在递归中后一种情形往往都是由前一种情形推出来的。 比如求5！时，假设递归函数为fun(): 函数中核心语句为 n * fun(n-1);式中n是从5开始的，5!=5 * fun(4) 即要求得5！就需求出4！ 同理要求出4！，就需求出3！ 同
n个节点能组成多少种二叉树
hfutlsy的专栏
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思想：递归+组合   当n=1时，只有1个根节点，则只能组成1种形态的二叉树，令n个节点可组成的二叉树数量表示为h(n)， 则h(1)=1; 当n=2时，1个根节点固定，还有n-1个节点，可以作为左子树，也可以作为右子树， 即：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=2，则能组成2种形态的二叉树。这里h(0)表示空，所以只能算一种形态，即h(0)=1; 当n=3时，1
【杂谈】n个节点能组成多少个不同的二叉树
u011250186的博客
03-01 4424
使用递归的思想解决这个问题 简单的例子： 当n=0时，没有树，为0 s(0)=0 当n=1时，显然 s(1)=1 当n=2时，一个根节点一个节点在左枝上，或者一个根节点一个节点在右枝上 s(2)=2 当s=3时，有根节点，然后左2右0，2种情况；左1右1，1种情况；左0右2，2种情况 s(3)=5 利用求s(3)的思想，求s(n)时，相当于一个根节点，然后左边...
n 个结点的二叉树有多少种不同的形态
2203_76027318的博客
11-01 638
对于第三种情况，左子树有 1 个节点，右子树有 1 个节点，根据前面的推导，有 1 种形态。因此，当 n=3 时，共有 5 种形态。以此类推，当 n 个节点时，我们可以将其分为 n 种情况，每种情况的形态数量为 f(i)×f(n-i-1)，其中 i 表示左子树的节点数量，f(i)表示 i 个节点的二叉树的形态数量。最后，我们可以得到 n 个结点的二叉树的不同形态数量的通项公式为：f(n)=∑(i=0 to n-1) f(i)×f(n-i-1)。当 n=2 时，有两种形态，即根节点有左子节点或右子节点。
python 递归--给出n个节点计算可以组合成几种二叉树（附代码）
小鹏AI
07-06 3666
问题：给出n个节点可以组合成多少种二叉树？ 当给出一个节点的时候： n = 1，仅仅有一个二叉树 当给出两个节点的时候：n = 2，可以组成两个二叉树 当给出三个节点的时候：n = 3, 可以组成5个二叉树 方式一：使用卡特兰数进行递归推导 当n = 1时，只有一个root节点，所以也仅仅能够组合成1种形态的二叉树，也就是可以表示成h(1)=1h(1) = 1h(1)=1 当n = 2时，有一个root节点，此外还有一个节点，当然，这个节点既可以做左子树也可以做右子树h(2)=h(0)∗h(1)+h
N个节点二叉树有多少种形态
lq296263775的专栏
09-28 1444
记n个节点的二叉树形态个数为A[n] 1）0个节点的二叉树只有1种形态，A[0]=0；1个节点的二叉树只有1种形态，A[1]=1 2）n个节点（n>=2）的二叉树有 A[n] = ∑ [m=0到n-1] ( A[m]*A[n-m-1] ) ，求和的每一项，分别表示根的左子树为m个节点、右子树为 n-m-1个节点的情况 刚好就是catalan数，直接用catalan数的公式：h(n)=C(2n,n)
求N个结点能够组成的二叉树的个数
weixin_46411923的博客
05-04 2619
求N个结点能够组成的二叉树的个数
N个节点的二叉树的形态数详细推导
说文科技，做有态度的研究。
03-20 4358
N个节点的二叉树的形态数 卡特兰数
3个结点的二叉树有种形态
12-31
### 计算3个节点的二叉树的不同形态 对于含有3个节点的二叉树，可以采用递归的方法计算不同形态的数量。具体来说，在固定一个节点作为根节点的情况下，剩余的2个节点可以在左子树和右子树之间分配。 #### 左右子树的可能分配方案如下： - 当全部2个节点都在左子树时，对应的表达式为 \(f(2)\)，此时右子树为空； - 当1个节点位于左子树，另1个节点位于右子树时，则对应于\(f(1) * f(1)\); - 同理，当全部2个节点都放在右子树上时，同样表示为\(f(2)\), 此刻左子树为空； 因此，总的组合数可以通过上述三种情形相加得到，即\[f(3)=f(2)+f(1)*f(1)+f(2)[^3]\] 考虑到基础条件：只有一个节点的时候只有一种可能性（单个孤立节点），以及零个节点也视为一种合法状态——空树，所以有: - \(f(0)=1\) - \(f(1)=1\) 进一步地，通过观察发现，此问题实际上是一个卡特兰数的应用实例[^1]。对于任意正整数n, 卡特兰数C(n)给出了具有n+1个叶子节点的满二叉查找树数目。这里所说的“满”，意味着除了叶节点外所有的内部节点都有两个孩子。但是由于题目中的描述并未限定必须是完全二叉树或二叉搜索树，故而此处直接应用到一般意义上的二叉树也是合理的。 综上所述，经过简单的代入运算可得: \[f(2)=f(1)f(0)+f(0)f(1)=1*1+1*1=2\] 最终求解出： \[f(3)=f(2)+f(1)*f(1)+f(2)=2+1*1+2=5\] 这意味着存在五种互不相同的三节点二叉树结构。 ```python def num_trees(n): if n == 0 or n == 1: return 1 catalan = [0]*(n+1) catalan[0], catalan[1] = 1, 1 for i in range(2, n + 1): for j in range(i): catalan[i] += catalan[j]*catalan[i-j-1] return catalan[n] print(num_trees(3)) ```
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