Lucas定理推导过程(全网最全,哈哈哈哈)

本文详细介绍了Lucas定理的证明过程,通过将非负整数转换为p-进制形式,并利用组合数的性质,逐步推导出定理成立的条件。适合于对数论及组合数学感兴趣的读者。

和大家一起学习Lucas定理,在网上找了好久都没有找到详细的推导过程,这大概就是传说中的的一血了吧

求证 Cnm=Cn/pm/p∗Cn%pm%p(mod(p))C_n^m = C_{n/p}^{m/p} * C_{n\%p}^{m\%p}\quad\quad\quad(mod(p))Cnm=Cn/pm/pCn%pm%p(mod(p))
p为素数

(mod( p ))是两边同时取余p的意思

证明:
已知p为素数,将非负整数a转化成p-进制数:
a=akpk+ak−1pk−1+ak−1pk−2+....+a1∗k+a0a=a_kp^k+a_{k-1}p^{k-1}+a_{k-1}p^{k-2}+....+a_1*k+a_0a=akpk+ak1pk1+ak1pk2+....+a1k+a0
由于p是素数对于1≤j≤p−1,1\le j\le p-1,1jp1,都有Cpj=pj∗Cp−1j−1≡0mod(p)C_p^j=\frac{p}{j}*C_{p-1}^{j-1} \equiv0 \quad \quad mod(p)Cpj=jpCp1j10mod(p)
于是知(1+x)p=1+Cp1x+Cp2x−1+Cp3+....+Cpp−1xp−1+Cppxp=1+∑i=1p−1Cpj+xp≡1+xpmod(p)于是知(1+x)^p=1+C_p^1x+C_{p}^2{x-1}+C_p^3+....+C_p^{p-1}x^{p-1}+C_p^px^p=1+\sum_{i=1}^{p-1}C_p^j+x^p\equiv1+x^p \quad\quad\quad mod(p)(1+x)p=1+Cp1x+Cp2x1+Cp3+....+Cpp1xp1+Cppxp=1+i=1p1Cpj+xp1+xpmod(p)

(1+x)p≡1+xpmod(p)①(1+x)^p\equiv1+x^p \quad\quad\quad mod(p)\quad\quad\quad ①(1+x)p1+xpmod(p)

n=sp+q,m=tp+rn=sp+q , m=tp+rn=sp+q,m=tp+r
即s=n/pq=n%pt=m/pr=m%p即s=n/p\quad\quad\quad q=n\%p\quad\quad\quad t=m/p\quad\quad\quad r=m\%ps=n/pq=n%pt=m/pr=m%p
(1+x)n=(1+x)sp+q=(1+x)sp∗(1+x)p=((1+x)p)s∗(1+x)q(1+x)^n=(1+x)^{sp+q}=(1+x)^{sp}*(1+x)^p=\biggr((1+x)^p\biggr)^s*(1+x)^q(1+x)n=(1+x)sp+q=(1+x)sp(1+x)p=((1+x)p)s(1+x)q
代入公式①得:
(1+x)n=(1+xp)s∗(1+x)qmod(p)(1+x)^n=(1+x^p)^s*(1+x)^q\quad\quad\quad mod(p)(1+x)n=(1+xp)s(1+x)qmod(p)
(1+xp)s(1+x^p)^s(1+xp)s(1+xp)s∗(1+x)q(1+x^p)^s*(1+x)^q(1+xp)s(1+x)q分别进行二项式展开得
(1+xp)s∗(1+x)q=∑i=0s(si)∗xi∗p∗∑i=0q(qj)∗xjmod(p)(1+x^p)^s*(1+x)^q=\sum_{i=0}^s\binom{s}{i}*x^{i*p}*\sum_{i=0}^q\binom{q}{j}*x^j\quad\quad\quad mod(p)(1+xp)s(1+x)q=i=0s(is)xipi=0q(jq)xjmod(p)
即(1+x)n=∑i=0s(si)∗xi∗p∗∑i=0q(qj)∗xjmod(p)②即(1+x)^n=\sum_{i=0}^s\binom{s}{i}*x^{i*p}*\sum_{i=0}^q\binom{q}{j}*x^j\quad\quad\quad mod(p)\quad\quad\quad ②(1+x)n=i=0s(is)xipi=0q(jq)xjmod(p)
(1+x)n(1+x)^n(1+x)n进行二项式展开得:
(1+x)n=∑i=0sp+q(sp+qk)∗xk③(1+x)^n=\sum_{i=0}^{sp+q}\binom{sp+q}{k}*x^k\quad\quad\quad ③(1+x)n=i=0sp+q(ksp+q)xk
首先求③中xtp+rx^{tp+r}xtp+r的系数为(sp+qtp+r)\binom{sp+q}{tp+r}(tp+rsp+q)
然后求②中xtp+rx^{tp+r}xtp+r,我们发现,当且仅当i = t , j = r ,能够得到xtp+rx^{tp+r}xtp+r的系数,即为(st)(qr)\binom{s}{t}\binom{q}{r}(ts)(rq)
即(sp+qtp+r)=(st)(qr)(mod(p))即\binom{sp+q}{tp+r}=\binom{s}{t}\binom{q}{r}\quad\quad\quad(mod(p))(tp+rsp+q)=(ts)(rq)(mod(p))
即(nm)=(n/pm/p)(n%pm%p)(mod(p))即\binom{n}{m}=\binom{n/p}{m/p}\binom{n\%p}{m\%p}\quad\quad\quad(mod(p))(mn)=(m/pn/p)(m%pn%p)(mod(p))
即Cnm=Cn/pm/p∗Cn%pm%p(mod(p))即C_n^m = C_{n/p}^{m/p} * C_{n\%p}^{m\%p}\quad\quad\quad(mod(p))Cnm=Cn/pm/pCn%pm%p(mod(p))

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