Lucas定理推导过程(全网最全,哈哈哈哈)

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#Lucas定理 #组合数学

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本文详细介绍了Lucas定理的证明过程，通过将非负整数转换为p-进制形式，并利用组合数的性质，逐步推导出定理成立的条件。适合于对数论及组合数学感兴趣的读者。

和大家一起学习Lucas定理,在网上找了好久都没有找到详细的推导过程,这大概就是传说中的的一血了吧

求证 $Cnm=Cn/pm/p∗Cn%pm%p(mod(p))C_n^m = C_{n/p}^{m/p} * C_{n\%p}^{m\%p}\quad\quad\quad(mod(p))$
p为素数

(mod( p ))是两边同时取余p的意思

证明:
已知p为素数,将非负整数a转化成p-进制数:
$a=a_kp^k+a_{k-1}p^{k-1}+a_{k-1}p^{k-2}+....+a_1*k+a_0$
由于p是素数对于 $1≤j≤p−1,1\le j\le p-1,$ 都有 $Cpj=pj∗Cp−1j−1≡0mod(p)C_p^j=\frac{p}{j}*C_{p-1}^{j-1} \equiv0 \quad \quad mod(p)$
$于是知(1+x)p=1+Cp1x+Cp2x−1+Cp3+....+Cpp−1xp−1+Cppxp=1+∑i=1p−1Cpj+xp≡1+xpmod(p)于是知(1+x)^p=1+C_p^1x+C_{p}^2{x-1}+C_p^3+....+C_p^{p-1}x^{p-1}+C_p^px^p=1+\sum_{i=1}^{p-1}C_p^j+x^p\equiv1+x^p \quad\quad\quad mod(p)$

$(1+x)p≡1+xpmod(p)①(1+x)^p\equiv1+x^p \quad\quad\quad mod(p)\quad\quad\quad ①$

设 $n = s p + q, m = t p + r$
$即s=n/pq=n%pt=m/pr=m%p即s=n/p\quad\quad\quad q=n\%p\quad\quad\quad t=m/p\quad\quad\quad r=m\%p$
$(1+x)n=(1+x)sp+q=(1+x)sp∗(1+x)p=((1+x)p)s∗(1+x)q(1+x)^n=(1+x)^{sp+q}=(1+x)^{sp}*(1+x)^p=\biggr((1+x)^p\biggr)^s*(1+x)^q$
代入公式①得:
$(1+x)n=(1+xp)s∗(1+x)qmod(p)(1+x)^n=(1+x^p)^s*(1+x)^q\quad\quad\quad mod(p)$
对 $1+x^p)^s$ 和 $1+x^p)^s*(1+x)^q$ 分别进行二项式展开得
$(1+xp)s∗(1+x)q=∑i=0s(si)∗xi∗p∗∑i=0q(qj)∗xjmod(p)(1+x^p)^s*(1+x)^q=\sum_{i=0}^s\binom{s}{i}*x^{i*p}*\sum_{i=0}^q\binom{q}{j}*x^j\quad\quad\quad mod(p)$
$即(1+x)n=∑i=0s(si)∗xi∗p∗∑i=0q(qj)∗xjmod(p)②即(1+x)^n=\sum_{i=0}^s\binom{s}{i}*x^{i*p}*\sum_{i=0}^q\binom{q}{j}*x^j\quad\quad\quad mod(p)\quad\quad\quad ②$
对 $1+x)^n$ 进行二项式展开得:
$(1+x)n=∑i=0sp+q(sp+qk)∗xk③(1+x)^n=\sum_{i=0}^{sp+q}\binom{sp+q}{k}*x^k\quad\quad\quad ③$
首先求③中 $x^{tp+r}$ 的系数为 $(sp+qtp+r)\binom{sp+q}{tp+r}$
然后求②中 $x^{tp+r}$ ,我们发现,当且仅当i = t , j = r ,能够得到 $x^{tp+r}$ 的系数,即为 $(st)(qr)\binom{s}{t}\binom{q}{r}$
$即(sp+qtp+r)=(st)(qr)(mod(p))即\binom{sp+q}{tp+r}=\binom{s}{t}\binom{q}{r}\quad\quad\quad(mod(p))$
$即(nm)=(n/pm/p)(n%pm%p)(mod(p))即\binom{n}{m}=\binom{n/p}{m/p}\binom{n\%p}{m\%p}\quad\quad\quad(mod(p))$
$即Cnm=Cn/pm/p∗Cn%pm%p(mod(p))即C_n^m = C_{n/p}^{m/p} * C_{n\%p}^{m\%p}\quad\quad\quad(mod(p))$