组合数取模(sdut3895+HDU3037)逆元法或Lucas

组合数取模有三种方法
第一种是杨辉三角用数组跑,时间复杂度高
第二种使用逆元法求,适用于m,n较小,而mod较大的情况
第三种是Lucas定理适用于n,m较大的情况;

逆元法
记需要区域的数mod为p

p要求是质数,不然就GG吧

$$虽然有C_n^m=\frac{n!}{m!(n−m)!}，但由于取模的性质对于除法不适用$$ $$所以C_n^m\%p\neq\left(\frac{n!\%p}{m!\%p(n−m)!\%p}\right)\%p$$
所以需要把“除法”转换成“乘法”，才能借助取模的性质在不爆long long的情况下计算组合数。这时候就需要用到“逆元”！

逆元：对于a和p，若a*b%p≡1，则称b为a%p的逆元。

$$对于\left({a}\over{b}\right)\%p,假设c为b的逆元 ,即b*c\%p\equiv1,那么\left({a}\over{b}\right)\%p=\left({a*b*c\%p}\over{b}\right)$$
$$即\left({a}\over{b}\right)\%p=\left(a*c\%p\right) =\left(\left(a\%p\right)*c\%p\right)\%p$$

你愿的求法有两种,一种是扩展欧几里得求逆元,转换成同余方程,另一种就是当p是质数时强大的费马小定理;

扩展欧几里得

a与b互质,存在n,m使方程am+bn=gcd(a,b)=1成立
a*m%b+0=1成立
m就是a%b的逆元.
求逆元代码:

long long inv(long long a,long long p)
{
    long long x,y;
    long long d=extend_gcd(a,p,x,y);
    if(d==1) return (x%n+n)%n; 
    else return -1;
}
long long extend_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(a==0&&b==0)return -1;
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    long long d=extend_gcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}

简便写法:

//a<p
long long inv(long long a,long long p)
{
    if(a==1)
        return 1;
    return inv(p%a,p)*(p-p/a)%p
}

费马小定理:

$$对于质数a,a^{p-1}\%p\equiv1,又因为a^{p-1}=a^{p-2}*p,所以a^{p-2}是a的逆元,那样就可以用快速幂求逆元了$$
$$对于组合数\frac{n!}{m!(n−m)!}\%p=\left(\frac{n!}{m!}\%p*\frac{1}{\left(n-m\right)!}\%p\right)\%p$$

$$首先用费马小定理求m!的逆元记作m_{逆元}=\left({m!}\right)^{p-2},$$ $$然后求出(n-m)!的逆元记作nm_{逆元}=\left({(n-m)!}\right)^{p-2}$$ $$C_n^m\%p=\frac{n!}{m!(n−m)!}\%p=\left(\frac{n!}{m!}\%p*\frac{1}{\left(n-m\right)!}\%p\right)\%p=\left(\left(n!\%p*m_{逆元}\%p\right)\%p*\left(1*nm_{逆元}\%p\right)\%p\right)\%p$$

sdut3895(2017山东省赛C题)就是逆元求组合数的题目,不能用卢卡斯定理,TLE,TLE,TLE……….
SDUT3895题目链接
2017山东省赛C题题解

Lucas定理(大部分情况 p<$10^5$)

$$C_n^m\%p=\left(C_{n\%p}^{m\%p}\%p*C_{n/p}^{m/p}\%p\right)\%p$$ $$且C_n^0=1;$$
这样我们就可以用逆元法求出 $C_{n\%p}^{m\%p}$,然后递归求解 $C_n^m\%p$
Lucas定理模板(C(m,n)代表 $C_n^m$)

long long Lucas(long long n,long long m)  
{  
    if(m==0)  
        return 1;  
    return Lucas(n/p,m/p)*C(n%m,m%p)%p;  
}  

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