51nod-1098 最小方差

最新推荐文章于 2019-07-28 13:21:29 发布

z岁月无声

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分类专栏： 51Nod 数论文章标签：算法

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本文介绍了一种寻找给定数值集合中，特定数量元素组合使其方差最小的问题，并提供了两种解决方法：暴力枚举和公式简化。通过示例输入输出展示了算法实现过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1098 最小方差

基准时间限制：1 秒空间限制：131072 KB 分值: 20 难度：3级算法题

关注

若x1,x2,x3......xn的平均数为k。

则方差s^2 = 1/n * [(x1-k)^2+(x2-k)^2+.......+(xn-k)^2] 。

方差即偏离平方的均值，称为标准差或均方差，方差描述波动程度。

给出M个数，从中找出N个数，使这N个数方差最小。

Input

第1行：2个数M,N，(M > N, M <= 10000)
第2 - M + 1行：M个数的具体值(0 <= Xi <= 10000)

Output

输出最小方差 * N的整数部分。

Input示例

Output示例

思路：

一.暴力，排序后直接求每一个n区间的方差

二.化简

n*D=(x1-k)^2+(x2-k)^2+...+(xn-k)^2
=(x1^2+x2^2+...+xn^2)-2*k*(x1+x2+...+xn)+n*k^2
又 k=(x1+x2+...+xn)/n 代入得
n*D=(x1^2+x2^2+...+xn^2)-(x1+x2+...+xn)^2/n

Code 1:

//暴力~~~ 
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int MAX_N=10005;
int n,m;
LL a[MAX_N],S2[MAX_N];

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		cin>>a[i];
	sort(a+1,a+n+1);	//a+n+1 ~~~~
	for(int i=1;i<=n;++i)
		S2[i]=S2[i-1]+a[i];
	long double ans=1e15;
	for(int i=m;i<=n;++i)
	{
		long double pp=(long double)(S2[i]-S2[i-m])/m;
		long double ansi=0;
		for(int k=i,j=0;j<m;++j,--k)
			ansi+=(a[k]-pp)*(a[k]-pp);
		ans=min(ans,ansi);
	}
	cout<<(LL)ans<<endl;
	return 0;
}

Code 2:

/*
化简 
 n*D=(x1-k)^2+(x2-k)^2+...+(xn-k)^2
	=(x1^2+x2^2+...+xn^2)-2*k*(x1+x2+...+xn)+n*k^2
又 k=(x1+x2+...+xn)/n 代入得
 n*D=(x1^2+x2^2+...+xn^2)-(x1+x2+...+xn)^2/n 
*/
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int MAX_N=10005;
int n,m;
LL a[MAX_N],Sum[MAX_N],S2[MAX_N];

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		cin>>a[i];
	sort(a+1,a+n+1);	//a+n+1 ~~~~
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		Sum[i]=Sum[i-1]+a[i];
		S2[i]=S2[i-1]+a[i]*a[i];
	}
	long double Min=1e18;
	for(int i=m;i<=n;++i)
		Min=min(Min,S2[i]-S2[i-m]-(long double)(Sum[i]-Sum[i-m])*(Sum[i]-Sum[i-m])/m);
	cout<<(LL)Min<<endl;
	return 0;
}