【YbtOJ 树状数组 - 3】严格上升子序列数

本文介绍了如何利用树状数组解决求解严格上升子序列数量的问题。通过离散化数组并建立多个树状数组,可以有效地进行动态规划优化,减少计算复杂度。

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严格上升子序列数


题目

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输入

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输出

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输入样例

2
3 2
1 2 3
3 2
3 2 1

输出样例

Case #1: 3
Case #2: 0

解题思路

我们设dp(i,j)dp(i, j)dp(i,j)为第iii个数结尾,长度为jjj的严格上升子序列个数

考虑到式子有类似于逆序对的操作,我们要先将数组离散化,再建mmm个树状数组来维护方案数,来优化DPDPDP


程序如下

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
<think>嗯,用户想用C++和树状数组实现最长不降子序列的算法。首先,我得回忆一下最长不降子序列(LIS)的常规解法。通常有两种方法,一种是动态规划O(n²),另一种是贪心加二分O(n log n)。但是用户提到要用树状数组,所以可能需要结合离散化和树状数组优化。 首先,树状数组常用于处理前缀和、区间查询等问题。而LIS问题中,我们需要维护一个数组,记录以每个元素结尾的最长子序列长度。如果用树状数组的话,可能需要将元素的值离散化,因为原始数值可能很大,不适合直接作为索引。 那具体步骤应该是怎样的呢?比如,处理输入数组,将其离散化,然后遍历每个元素,查询当前元素在离散化后的位置对应的最大值,然后更新树状数组。这样,每次查询和更新都是O(log n)的时间复杂度,整体复杂度应该能降到O(n log n)。 然后,离散化的过程需要注意重复元素的问题,因为最长不降子序列允许非降,所以离散化时要保留原始的顺,可能需要稳定排或者处理相同值时保持原。 接下来,树状数组的设计。通常树状数组用于求和,但这里需要维护的是最大值。所以需要将树状数组的更新和查询操作改为取最大值。也就是说,每个节点存储的是该区间内的最大值,而不是和。 然后,具体实现的时候,遍历数组中的每个元素,找到其在离散化后的排名,查询树状数组中排名-1的位置的最大值,加上1就是当前元素的最长列长度。然后更新树状数组在该排名处的值。 需要确认离散化是否正确处理了相等的情况,比如相等的元素应该被映射到相邻的排名,或者在查询时允许等于的情况。比如,在查询时,应该查询小于等于当前值的最大长度,这样在更新的时候才能正确累积。 可能还需要考虑是否需要稳定排,或者在离散化时处理相同值的顺。比如,使用排后的数组去重,但保留原始的顺,这样每个元素可以映射到对应的排名。 然后,具体的C++代码实现。需要包括离散化的步骤,树状数组的结构,以及主函数中的处理逻辑。例如,使用vector保存原始数组,排并去重得到离散化后的索引,然后使用lower_bound或upper_bound来获取每个元素的排名。注意这里如果是非降,可能需要使用upper_bound来允许相等的元素。 此外,树状数组的更新和查询操作需要调整为处理最大值。比如,update函数在更新时比较并取最大值,而不是累加。query函数则是查询前缀中的最大值。 最后,测试一下这个算法是否正确。例如,给定一个测试用例,比如输入数组是{3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6},离散化后的排名应该是处理后的索引,然后逐步计算每个位置的最长长度,并更新树状数组。最终得到的最长不降子序列长度是否正确。 可能遇到的问题包括离散化错误导致索引越界,或者树状数组的更新逻辑不正确,比如没有正确处理最大值,而是求和导致结果错误。这时候需要仔细检查树状数组的update和query函数。 另外,注意树状数组的大小应该等于离散化后的最大值加1,以避免索引超出范围。比如离散化后的元素范围是1到m,那么树状数组的大小应该是m+1。 总结一下,步骤应该是: 1. 离散化原数组,将元素映射到排名。 2. 初始化树状数组,用于维护最大值。 3. 遍历原数组每个元素,找到其离散化后的排名。 4. 查询树状数组中1到该排名的最大值,加1作为当前元素的最长长度。 5. 更新树状数组在该排名处的值为这个新长度。 6. 最终,树状数组中的最大值即为LIS的长度。 这样应该就能用树状数组在O(n log n)的时间复杂度内解决问题了。</think>### 使用C++和树状数组实现最长不降子序列算法 #### 算法思路 最长不降子序列(Longest Non-Decreasing Subsequence, LNDS)的树状数组解法基于以下步骤: 1. **离散化**:将原列元素映射为压缩后的排名,解决值域过大问题[^3] 2. **树状数组维护最大值**:树状数组每个节点存储对应区间内的最大LNDS长度 3. **动态更新**:遍历元素时查询小于等于当前值的最大长度,并更新树状数组 #### 实现步骤 1. **离散化处理** ```cpp vector<int> discretization(vector<int>& nums) { vector<int> sorted(nums); sort(sorted.begin(), sorted.end()); sorted.erase(unique(sorted.begin(), sorted.end()), sorted.end()); for (int& num : nums) num = lower_bound(sorted.begin(), sorted.end(), num) - sorted.begin() + 1; return sorted; } ``` 2. **树状数组类(最大值版本)** ```cpp class FenwickTree { private: vector<int> tree; public: FenwickTree(int size) : tree(size + 1, 0) {} void update(int idx, int value) { while (idx < tree.size()) { tree[idx] = max(tree[idx], value); idx += idx & -idx; } } int query(int idx) { int res = 0; while (idx > 0) { res = max(res, tree[idx]); idx -= idx & -idx; } return res; } }; ``` 3. **主算法实现** ```cpp int lengthOfLNDS(vector<int>& nums) { if (nums.empty()) return 0; discretization(nums); int maxRank = *max_element(nums.begin(), nums.end()); FenwickTree ft(maxRank); int res = 0; for (int num : nums) { int current = ft.query(num) + 1; res = max(res, current); ft.update(num, current); } return res; } ``` #### 算法分析 - **时间复杂度**:$O(n \log n)$,包含离散化$O(n \log n)$和树状数组操作$O(n \log n)$ - **空间复杂度**:$O(n)$,树状数组大小与离散化后的值域相关[^1] - **优化点**:通过离散化压缩值域,利用树状数组高效维护区间最大值 #### 测试样例 输入:`[3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6]` 离散化后排名:`[3, 1, 4, 1, 5, 6, 2, 7]` 输出:4(最长列如`[1, 4, 5, 6]`)
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