作者 | 你说得很对 编辑 | 3D视觉之心
原文链接：https://www.zhihu.com/question/422718770
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wuRDmemory
楼主的问题不太对吧?
楼主应该问为什么用四元数而不是李群吧?李代数是李群在幺元处的切空间，其实本质上也是矩阵（[a]^组成的空间），虽然很多书都说可以把李代数看做一个向量空间，但是实际上李代数是一个反对称矩阵组成的空间，只不过两者一一对应；
而通常SLAM中优化问题解得增量是旋转向量，可不是真正意义上的李代数，而旋转向量与四元数之间的转换关系更简单，仅仅就是除2并进行三角函数运算；
那么退一步，如果楼主问的是为什么不用旋转向量而是用四元数?
个人认为是说
旋转向量虽然是最小表示，但真正在做向量旋转时候还是要用旋转矩阵，所以还是要把旋转向量通过罗德里格斯公式变为旋转矩阵，而四元数有现成的运算；
求得增量之后四元数的更新也比李群表示的更新方便快捷很多，同时四元数仅仅存四个数就可以，比存储李群那样的矩阵要方便一些；
从便于理解的角度来说，我们最容易感受的其实是欧拉角，而不是旋转向量表示的给你一个旋转轴和旋转角度，那么从这个角度出发，四元数依旧是直接的公式，而旋转向量依旧需要一步罗德里格斯公式；
总结来说，我个人认为两者皆可表示旋转，只不过四元数有更多现成的运算，不必像旋转向量（或者楼主所说的李代数）一样处处罗德里格斯。
最后还需要说明一下的是，李代数必须是李群（也就是旋转矩阵）在幺元处的切空间，如果用李代数就意味着你算法后续的扰动都是在global系下的，而不能是local系下的，这点要特别注意。
马丁当
如果使用角轴表示旋转，每次新的角速度测量来了之后，你需要：
把角轴转换成旋转矩阵，罗德里格斯公式。
把角速度测量转换成旋转矩阵，可以罗德里格斯公式，也可以一阶近似。
旋转矩阵相乘。
把矩阵正则化（SVD分解，或者转换成四元数正则化，暂时不知道比较高效的方式）。
矩阵转变成角轴表达（反三角函数）。
如果使用四元数表达，则需要：
角速度转换成四元数，可以用三角函数得到相对精确的表达，也可以直接一阶近似。
四元数相乘。
四元数正则化，直接除以模即可，非常简单。
另外一种使用旋转矩阵表达的方式，占用储存空间多，好在不用频繁调用罗德里格斯公式。正则化的时候还是需要转换成四元数正则化，那么不如直接四元数表达。
IMU测量又比较频繁，100Hz到1000Hz不等，又多在嵌入式系统里，所以最终选择下来大家都用四元数了。
刘一梦
1、在非线性优化问题里，一般使用李代数会好一些。这是因为优化问题最终就是求H，从而也就是要求雅克比矩阵J。在李代数下，J的扰动求导是很方便且现成的，而用四元数求导比较麻烦，在计算精度上李代数也更高。一般优化得到增量的估计（李代数）之后，先指数映射转到李群，然后在李群上做乘法。
2、在滤波问题上，首先KF不能用四元数，因为四元数是非线性的。可以用EKF，但是以四元数为状态变量的话其雅克比矩阵也比较复杂（有没有用四元数为状态量进行EKF的呢？其实是有的，是在无人机里常出现的，直接用全量而不是误差量进行建模的情况，比如直接用姿态的四元数做状态量），最常用的是ESKF的形式。为什么要用errorState呢，errorState有很多优点，但我觉得最重要的是误差状态方程是近似线性的，所以可以直接用卡尔曼滤波（注意，eskf并不是扩展卡尔曼滤波，而是KF）,而且测量更新部分的雅克比矩阵的计算也非常简单计算，因为errorState总是很小的，所以高阶项可以忽略。
008
主要原因是。
对于最优化问题，我们需要对参数Θ不断做加减法，去迭代一个Θ，使得损失函数 F(Θ)最小。
而四元素自身是带有约束，不能简单地做加减法。它作为优化变量时，会引入额外的约束，使得优化变得困难。通过李群和李代数之间的转换关系，可以把位姿估计变为无约束的优化问题，简化求解方式。
李代数只能以增量Δ的形式作为优化变量，利用李代数的优化，要优化的参数，是一个增量Δ。李代数的逻辑R没法对李代数φ雅可比，而要用R*ΔR李代数φ雅可比。比如说我想得到一个R使得F(R)最小，李代数的思路是求一个增量ΔR对应的李代数，不断迭代ΔR对应的李代数φ，使得R = R.ΔR、F(R)最小。
基于李代数只优化增量的尿性，对于普通的EKF这种，直接利用李代数没法做，因为李代数的逻辑R没法对李代数φ雅可比，而要用R*ΔR李代数φ雅可比。用李代数做卡尔曼滤波的话得用ESKF这种增量表达式的方法。
但四元素可以直接R对q求导，就适合直接使用EKF，同样ESKF也可以使用四元素。
总结就是，使用普通EKF做位姿优化李代数干不了四元素能干，ESKF的话李代数和四元素都能干，最优化的话李代数能干但四元素不能干。
当然，在可以保证处理好旋转顺归和可以避免万向锁的情况下，欧拉角用着可谓是一个爽。
BigWaterMelon
在工程上，四元数和矩阵形式相比有以下好处：
仅需四个浮点数表示。占用内存比旋转矩阵更小，乘积操作更快。
可以用向量形式表征。适合集成在卡尔曼滤波类算法中，更新时可使用计算成本较低的加和操作（仍需一步矫正，使其满足模长为1的约束）。
一些球面差值的表达式更简洁。
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