关于x&(x-1)的作用

x = x&(x-1):每执行一次x =x&(x-1),会将x用二进制表示时最右边的一个1变为0,因为x-1将会将该位(x用二进制表示时最右边的一个1)变为0。

// 判断一个数字的二进制中有几个1
#include<iostream>
using namespace std;
int main() {
	int x;
	while (cin >> x) {
		int count = 0;
		while (x) {
			x = x & (x - 1);
			count++;
		}
		cout << count << endl;
	}
	return 0;
}
// 判断一个数是否是2的n次方
#include <stdio.h>
int func(int x)
{
    if( (x&(x-1)) == 0 )
        return 1;
    else
        return 0;
}
int main()
{
    int x = 8;
    printf("%d\n", func(x));
}
<think> 我们被要求解释表达式 x & (x - 1) 的含义和用途。 根据引用[3]中提到的位运算知识,我们可以进行类比分析。 表达式:x & (x - 1) 考虑一个非负整数x(在计算机中通常用二进制表示),我们分析这个操作: 1. 含义: 这个操作会将x的二进制表示中最右边的1变成0(如果存在的话)。 2. 原理: 假设x的二进制形式为:... a b ... c 1 0...0 (即最右边的1后面跟着若干个0,因为1是最右边的一个1) 那么x-1的二进制形式为:... a b ... c 0 1...1 (即将最右边的1变成0,后面的0都变成1) 然后进行按位与操作: x: ... a b ... c 1 0...0 x-1: ... a b ... c 0 1...1 按位与:... a b ... c 0 0...0 所以,x & (x-1) 的结果就是将x的最右边的1变成了0,而其他位保持不变。 3. 用途: a) 判断一个数是否是2的幂: 如果 x & (x-1) == 0 且 x != 0,则x是2的幂。 因为2的幂的二进制表示中只有一位是1,去掉这个1后就变成了0。 b) 计算一个数的二进制表示中1的个数(汉明重量): 我们可以重复进行 x = x & (x-1) 操作,直到x变为0,操作的次数就是1的个数。 c) 其他用途:在一些位操作的技巧中,比如在树状数组中(Binary Indexed Tree)等。 4. 举例: a) 设x=5 (二进制101) x-1=4 (二进制100) x & (x-1) = 101 & 100 = 100 (即4) 然后我们再对4操作: 4的二进制是100,4-1=3(二进制011100 & 011 = 000,所以两次操作后变为0,因此5有两个1。 b) 设x=8 (二进制1000) x-1=7 (二进制0111) x & (x-1) = 1000 & 0111 = 0000 -> 0,所以8是2的幂。 5. 注意: 这个操作对于0也成立:0-1(在无符号整数中会溢出,但在有符号整数中为-1)需要小心处理。通常我们只考虑非负整数,且0不是2的幂。 6. 代码示例(计算汉明重量): ```c int countOnes(unsigned int x) { int count = 0; while (x) { x = x & (x - 1); count++; } return count; } ``` 7. 与引用[3]的类比: 引用[3]中提到了x & -x,这个操作可以获取x的最低位的1(即保留最低位的1,其余位都置0)。而x & (x-1)是消除最低位的1。 8. 引用说明: 位运算在编程中常用于高效处理状态和标志[^3]。 因此,我们总结: 表达式 x & (x-1)作用是将x的二进制表示中最低位的1置为0。这一操作在判断2的幂、计算二进制中1的个数等场景中有重要应用。 生成相关问题: 1. 如何利用位运算判断一个数是否是2的幂? 2. 如何快速计算一个整数的二进制表示中1的个数? 3. 表达式 x & -x 有什么作用?它和 x & (x-1) 有什么联系? 4. 位运算还有哪些常见技巧? </think>### 表达式 `x & (x - 1)` 的解析与应用 #### 核心含义 该表达式的作用是 **将二进制表示中最低位的 1 变为 0**。这是位运算中的经典技巧,基于以下原理: - 当 `x` 为 2 的幂时:`x` 的二进制只有一个 1(如 8=1000),`x-1` 会翻转所有低位(0111),按位与结果为 0 - 当 `x` 非 2 的幂时:只消除最低位的 1(如 6=110 & 5=101100=4) #### 数学表示 设 $x$ 的二进制为 $b_n b_{n-1}...b_k10...0$($b_k$ 是最低位的 1),则: $$ x \ \& \ (x-1) \Rightarrow b_n b_{n-1}...b_k00...0 $$ #### 主要用途 1. **判断 2 的幂** `x & (x-1) == 0` 当且仅当 $x$ 是 2 的幂(或 0) ```c bool isPowerOfTwo(int x) { return x != 0 && (x & (x - 1)) == 0; } ``` 2. **计算汉明重量(1 的个数)** 通过重复消除最低位的 1 来计数: ```c int countBits(int x) { int count = 0; while (x) { x &= x - 1; // 每次消除一个 1 count++; } return count; } ``` 3. **求最低有效位(LSB)** `(x & -x)` 可获取最低位的 1(引用[3]),而 `x & (x-1)` 则是其逆操作 4. **奇偶校验加速** 比模 2 运算更快:`(x & (x-1)) == 0 ? "偶" : "奇"` #### 实例分析 | x (十进制) | x (二进制) | x-1 (二进制) | 结果 (二进制) | 说明 | |------------|------------|--------------|---------------|-----------------------| | 8 | 1000 | 0111 | 0000 | 2 的幂 → 清零 | | 6 | 0110 | 0101 | 0100 | 消除最低位 1 (1) | | 5 | 0101 | 0100 | 0100 | 消除最低位 1 (第0位) | | 0 | 0000 | 1111 | 0000 | 边界特例 | #### 性能优势 - **时间复杂度**:$O(k)$,其中 $k$ 是 1 的个数,远优于遍历的 $O(n)$ - **空间复杂度**:$O(1)$,无需额外存储 - **指令优化**:现代 CPU 单周期完成位运算 #### 应用场景 1. 位图索引压缩 2. 布隆过滤器状态更新 3. 动态规划状态压缩(如旅行商问题) 4. 内存对齐检测 5. 快速幂算法优化 > 该技巧是位运算优化的基石之一,在 Linux 内核、Redis 等系统源码中广泛应用[^3]。
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