斜率优化dp入门-学习笔记

本文深入探讨斜率优化动态规划技巧,通过分析HDU 3507题解,讲解如何利用单调队列优化DP过程,减少计算复杂度。文章详细解析了决策点优化策略,化简不等式,维护斜率单调性,以及实际代码实现。

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最近在学斜率优化。
但是讲课的学长默认我们会这个东西,于是其它部分都听得懂一到斜率优化就开始一片空白
感觉跟单调队列优化dp很像,但要复杂一些。

感觉 就是一直在看决策点哪个更优什么的然后不停地化简移项然后化简成不等式的一边有类似斜率那样的一个形式,然后再根据题目的一些什么性质进行维护。

最近实在是有太多事情要干了,感觉学东西好快呀,这既是好事又不好。(怎么又开始哲学)

所以还是粘一下参考的博客,自己就不详细解释了。
https://www.cnblogs.com/orzzz/p/7885971.html
https://blog.youkuaiyun.com/lxc779760807/article/details/51366552
https://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2012/08/26/2657650.html


入门做的题目就是HDU的3507
(我就说这才是板题,学长非要把他放在后面,果然学长太大佬了看什么题都是板题)

题意:

给出N(1e4)个单词,每个单词有个非负权值Ci,
现要将它们分成连续的若干段,每段的代价为此段单词的权值和的平方,
还要加一个常数M,即(∑Ci)^2+M。
现在想求出一种最优方案,使得总费用之和最小。

大概理一下思路吧 (其实我觉得大佬们的博客都已经讲得很清楚了诶)

1.首先写出转移式: d p [ i ] = m i n ( d p [ j ] + ( s [ i ] − s [ j ] ) 2 + M ) dp[i]=min(dp[j]+(s[i]-s[j])^2+M) dp[i]=min(dp[j]+(s[i]s[j])2+M)
d p [ i ] dp[i] dp[i]表示输出前 i i i个单词(包括 i i i)的最小费用

2.套路:假设 j > k j>k j>k j j j k k k更优,那么有:
d p [ j ] + ( s [ i ] − s [ j ] ) 2 + M &lt; d p [ k ] + ( s [ i ] − s [ k ] ) 2 + M dp[j]+(s[i]-s[j])^2+M&lt;dp[k]+(s[i]-s[k])^2+M dp[j]+(s[i]s[j])2+M<dp[k]+(s[i]s[k])2+M
化至套路格式:
( d p [ j ] + s [ j ] 2 ) − ( d p [ k ] + s [ k ] 2 ) 2 ( s [ j ] − s [ k ] ) &lt; s [ i ] \frac{(dp[j]+s[j]^2)-(dp[k]+s[k]^2)}{2(s[j]-s[k])}&lt;s[i] 2(s[j]s[k])(dp[j]+s[j]2)(dp[k]+s[k]2)<s[i]

d p [ j ] + s [ j ] 2 dp[j]+s[j]^2 dp[j]+s[j]2 y j y_{j} yj, 2 ∗ s [ j ] 2*s[j] 2s[j] x j x_{j} xj,继续套路:
y j − y k x j − x k &lt; s [ i ] \frac{y_{j}-y_{k}}{x_{j}-x_{k}}&lt;s[i] xjxkyjyk<s[i]
g ( j , k ) = y j − y k x j − x k g(j,k)=\frac{y_{j}-y_{k}}{x_{j}-x_{k}} g(j,k)=xjxkyjyk,即当满足条件:
j &gt; k j&gt;k j>k
g ( j , k ) &lt; s [ i ] g(j,k)&lt;s[i] g(j,k)<s[i]
时, j j j k k k更优。
反之,若 j &gt; k j&gt;k j>k g ( j , k ) &gt; = s [ i ] g(j,k)&gt;=s[i] g(j,k)>=s[i]时, k k k j j j更优。

3.若 i &gt; j &gt; k i&gt;j&gt;k i>j>k g ( i , j ) &lt; g ( j , k ) g(i,j)&lt;g(j,k) g(i,j)<g(j,k),则可以淘汰 j j j,证明大致如下:
分三种情况讨论:
1. g ( i , j ) &lt; g ( j , k ) &lt; s [ i ] g(i,j)&lt;g(j,k)&lt;s[i] g(i,j)<g(j,k)<s[i] i i i j j j优, j j j k k k
2. g ( i , j ) &lt; s [ i ] &lt; g ( j , k ) g(i,j)&lt;s[i]&lt;g(j,k) g(i,j)<s[i]<g(j,k) i i i j j j优, k k k j j j
3. s [ i ] &lt; g ( i , j ) &lt; g ( j , k ) s[i]&lt;g(i,j)&lt;g(j,k) s[i]<g(i,j)<g(j,k) j j j i i i优, k k k j j j

无论如何, j j j都不会是最优的,可以把 j j j去掉。
所以,斜率一定是单调递增的,可以用单调队列维护。

g ( i , j ) &lt; g ( j , k ) g(i,j)&lt;g(j,k) g(i,j)<g(j,k),也即是 ( y i − y j ) ( x j − x k ) &lt; ( x i − x j ) ( y j − y k ) (y_i-y_j)(x_j-x_k)&lt;(x_i-x_j)(y_j-y_k) (yiyj)(xjxk)<(xixj)(yjyk)
实际操作中,这里可以取等号,为方便起见,上面的证明没有给出边界(恰好取等)的状态。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
#define MAXN 500005
int n,m;
int dp[MAXN],s[MAXN];
int Q[MAXN];
int fz(int j,int k)
{
	return dp[j]+s[j]*s[j]-(dp[k]+s[k]*s[k]);
}
int fm(int j,int k)
{
	return 2*(s[j]-s[k]);
}
int main()
{
	while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF)
	{
		s[0]=dp[0]=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			int x;scanf("%d",&x);
			s[i]=s[i-1]+x;
		}
		int head=1,tail=1;
		Q[1]=0;//把0放进去 表示从1到i就是一整段 不分 
		//Q[1]=1;dp[1]=s[1]*s[1]+m;这么写会WA 原理见上一行 
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{//s[i]单调递增 斜率也单调递增
			while(head<tail/*至少有2个数*/&&fz(Q[head+1],Q[head])<=s[i]*fm(Q[head+1],Q[head]))
				head++;
			int j=Q[head];
			dp[i]=dp[j]+(s[i]-s[j])*(s[i]-s[j])+m;
			while(head<tail&&fz(i,Q[tail])*fm(Q[tail],Q[tail-1])<=fm(i,Q[tail])*fz(Q[tail],Q[tail-1]))
				tail--;
			Q[++tail]=i;
		}
		printf("%d\n",dp[n]);
	}
	return 0;
}
<think>好的,用户想了解斜率优化动态规划的概念及实方法。首先,我需要回忆一下动态规划的基础知识,特别是优化方法。动态规划通常有递推和记忆化搜索两种实方式,而斜率优化属于一种高级的优化技巧,用于降低时间复杂度。 用户提到的参考引用中提到,递推的效率比记忆化搜索高,并且很多优化技巧如滚动数组、单调队列、斜率优化都建立在递推上。所以,斜率优化应该属于递推方法的一种扩展。 接下来,我需要明确斜率优化的核心思想。根据已有的知识,斜率优化通常用于处理状态转移方程中的决策变量,通过分析转移方程的数学形式,将其转化为斜率问题,从而利用单调队列或凸包等数据结构来优化决策过程。 例如,当状态转移方程形如$dp[i] = \min\{dp[j] + f(i,j)\}$,其中$f(i,j)$可以分解为与i和j相关的项,可能可以将其转换为斜率的形式。比如,若$f(i,j)=a[i]*b[j]+c[i]+d[j]$,可能将式子整理为关于$b[j]$和$dp[j]+d[j]$的线性表达式,进而比较不同j值的斜率,选择最优的决策点。 需要解释为什么这种方法有效,可能涉及到维护一个下凸包或上凸包,确保每次决策时选取的j是最优的,从而将时间复杂度从O(n^2)降低到O(n)或O(n log n)。 然后,结合用户提供的引用内容,特别是引用[2]提到的QP优化DP结合,可能斜率优化在路径规划中的应用,但用户的问题更关注动态规划中的斜率优化,所以需要专注于算法实的步骤。 需要给出具体的例子,比如任务安排问题,或者最大子序列问题,来展示斜率优化的应用步骤。例如,经典的任务安排问题,其中状态转移方程可以斜率优化,通过维护一个单调队列来快速找到最优的前驱状态。 在实步骤方面,应该分步骤解释:问题分析、状态转移方程整理为斜率形式、数据结构的选择(如单调队列)、维护凸包的过程、以及最终的时间复杂度分析。 同时,要注意数学表达式的正确格式,使用$$...$$和$...$,并确保LaTeX语法正确。例如,将状态转移方程写成$$dp[i] = \min_{j<i}\{ dp[j] + (S + T_i)(C_i - C_j) \}$$,然后展开分析。 另外,用户提供的引用中有提到变积分PID和QP优化,虽然这些可能与斜率优化无直接关联,但需要确保不混淆概念,专注于动态规划中的斜率优化部分。 最后,生成相关问题时要围绕斜率优化的应用场景、与其他优化方法的比较、具体实中的挑战等,帮助用户深入理解。</think>### 斜率优化动态规划详解 #### 概念解析 斜率优化动态规划(Slope Optimization DP)是一种通过**分析状态转移方程的斜率特性**来优化决策过程的方法,可将部分动态规划问题的时间复杂度从$O(n^2)$降至$O(n)$或$O(n \log n)$[^1]。其核心是将状态转移方程转换为**线性关系式**,通过维护**决策点集的凸包**快速筛选最优决策。 #### 算法原理 1. **状态转移方程重构** 设状态转移方程为: $$dp[i] = \min_{j<i}\{ dp[j] + f(i,j) \}$$ 若$f(i,j)$可分解为$A(i) \cdot B(j) + C(i) + D(j)$形式,则方程可改写为: $$dp[i] = C(i) + \min_{j<i}\{ A(i) \cdot B(j) + (dp[j] + D(j)) \}$$ 此时决策变量$j$的优劣可转化为**点$(B(j), dp[j]+D(j))$的斜率比较**。 2. **凸包维护** 通过维护决策点集的**下凸包**(当$A(i)$单调递增)或**上凸包**(当$A(i)$单调递减),使用单调队列/栈快速剔除无效决策点。 #### 实步骤(以经典任务安排问题为例) **问题描述** 处理$n$个任务,每个任务耗时$t_i$,费用系数$c_i$。目标最小化总费用: $$总费用 = \sum_{i=1}^n (\text{完成时间} \times c_i)$$ **状态转移方程** $$dp[i] = \min_{j<i}\left\{ dp[j] + (S + T_i)(C_i - C_j) \right\}$$ 其中$T_i = \sum_{k=1}^i t_k$, $C_i = \sum_{k=1}^i c_k$,$S$为启动延迟。 **斜率优化过程** 1. **方程变形** 将方程展开为: $$dp[i] = S \cdot C_i + T_i \cdot C_i + \min_{j<i}\{ dp[j] - S \cdot C_j - T_i \cdot C_j \}$$ 令: $$ \begin{cases} k = T_i \\ x_j = C_j \\ y_j = dp[j] - S \cdot C_j \\ \end{cases} $$ 则状态转移简化为: $$dp[i] = (S + T_i)C_i + \min_{j<i}\{ y_j - k x_j \}$$ 2. **决策点筛选** 最优决策点需满足: $$\frac{y_j - y_k}{x_j - x_k} \leq k_i \quad (\text{下凸包条件})$$ 使用单调队列维护凸包,队首即为当前最优决策。 **Python实示例** ```python def slope_optimization_dp(n, S, t, c): T = [0]*(n+1) # 前缀时间和 C = [0]*(n+1) # 前缀费用和 dp = [0]*(n+1) q = deque([0]) # 单调队列存储决策点索引 for i in range(1, n+1): T[i] = T[i-1] + t[i-1] C[i] = C[i-1] + c[i-1] # 剔除队首非最优决策 while len(q)>=2 and (dp[q[1]] - dp[q[0]]) <= (S + T[i])*(C[q[1]] - C[q[0]]): q.popleft() j = q[0] dp[i] = dp[j] + (S + T[i] - T[j])*(C[i] - C[j]) # 维护下凸包 while len(q)>=2 and (dp[i]-dp[q[-1]])*(C[q[-1]]-C[q[-2]]) <= (dp[q[-1]]-dp[q[-2]])*(C[i]-C[q[-1]]): q.pop() q.append(i) return dp[n] ``` #### 关键优化- **时间复杂度**:从$O(n^2)$优化至$O(n)$ - **数据结构**:单调队列实$O(1)$时间复杂度的决策筛选 - **适用条件**:状态转移方程需满足**决策单调性**且参数满足**斜率单调性** #### 典型应用场景 1. 任务调度问题 2. 最优库存控制 3. 资源分配优化 4. 路径规划中的轨迹平滑(如自动驾驶中的QP优化前处理[^2])
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