背包问题求方案数

有 $N$ 件物品和一个容量是 $V$ 的背包。每件物品只能使用一次。
第 $i$ 件物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。 输出 最优选法的方案数。注意答案可能很大，请输出答案模 $10^9+7$ 的结果。

输入格式
第一行两个整数，$N，V$，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 $N$ 行，每行两个整数 $v_i,w_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 件物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示 方案数 模 $10^9+7$ 的结果。

数据范围
$0<N,V\le 1000$

$0<v_i,w_i\le 1000$

输入样例:
4 5
1 2
2 4
3 4
4 6

输出样例：
2

首先这个要求的是体积不超过 $V$ 并且总价值最大的 方案数, 首先需要求出的就是总价值最大, 其次是方案数, 然后要让方案数 对应上总价值, 不同的体积对应不同的方案数, 所以方案数的状态要用体积恰好为 $j$ 来表示, 而不能用不超过 $j$ 来表示,然后因为方案数要与总价值相对应,所以总价值的状态也要用 体积恰好为 $j$ 来表示.

状态表示 $f[i][j]$ : 在前 $i$ 个物品中选,并且体积恰好为 $j$ 的集合
状态属性: 总价值的最大值
状态计算: 选第 $i$ 个物品 和 不选第 $i$ 个物品
$f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);$

状态表示 $cnt[i][j]$ : 在前 $i$ 个物品中选, 并且总体积恰好为 $j$ 的集合
状态属性: 体积j对应的方案数
令 $res$ 表示体积为 $j$ 时的方案数
如果 $max==f[i][j]$
----> $res+=cnt[i][j];$
如果 $max==f[i][j-v]$
-----> $res+=cnt[i][j-v];$
最后更新 $cnt[i][j]$
-------> $cnt[i][j]=res$ % $mod;$

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>

const int N = 1100, mod = 1e9 + 7;

int f[N], cnt[N], n, m;

using namespace std;


int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    memset(f, - 0x3f, sizeof f);   //因为这里是恰好体积为j,且求最大价值,所以需要初始化为负无穷
    f[0] = 0;    //当体积为0时, 价值初始化为0
    cnt[0] = 1;  // 当体积为0时, 即什么也不选时,也是一种方案
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        int maxv = 0;
        for(int j = m; j >= v; j -- )  //枚举体积
        {
            maxv = max(f[j], f[j - v] + w);   //状态转移
            int res = 0;   //创建变量保存当前的方案数
            if(maxv == f[j]) res += cnt[j];   //状态转移
            if(maxv == f[j - v] + w) res += cnt[j - v];   //状态转移
            cnt[j] = res % mod;    //更新状态
            f[j] = maxv;    //更新状态
        }
    }
    int res = 0;
    for(int i = 0; i <= m; i ++ ) res = max(res, f[i]);  //枚举体积,找到最大价值
    int ans = 0;
    //如果当前价值等于最大价值, 记录方案数
    for(int i = 0; i <= m; i ++ ) if(res == f[i]) ans = ( ans + cnt[i] ) % mod;
    cout << ans << '\n';
}