[first order method] Proximal Gradient Descent

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#凸优化

本文介绍了Proximal Gradient Descent算法，该算法用于解决包含凸且可微分部分g(x)和凸非微分部分h(x)的无约束优化问题。当h(x)为0时，算法退化为梯度下降法；当h(x)为IA(x)时，转化为投影到集合A上；若h(x)为L1范数，则更新规则涉及软阈值操作。

1 Proximal gradient descent

Unconstrained Problem with cost function split into two components.

minf(x)=g(x)+h(x)

where

  • g(x) : convex, differentiable, and dom(g)=Rn ;
  • h(x) :convex, nondifferentiable, but its proximal function is inexpensive. The proximal function is defined as
    Proxh(x)=argminu(h(u)+
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This is a short code for studying proximal gradient descent algorithm.#--------------------------- functions to be used ----------------------## the main function f = g + h f <- function(x, A, b, lambd
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proximal gradient descent代码
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以下是一个简单的近端梯度下降法的代码示例： ```python import numpy as np def proximal_gradient_descent(x0, f, grad_f, prox, step_size, max_iters): """ 近端梯度下降法 参数： x0：初始点 f：目标函数 grad_f：梯度函数 prox：近端算子 step_size：学习率（步长） max_iters：最大迭代次数 返回： x：最优解 """ x = x0 for i in range(max_iters): grad = grad_f(x) x_new = prox(x - step_size * grad, step_size) # 更新x的近端点 if np.linalg.norm(x_new - x) < 1e-6: # 检查收敛条件 break x = x_new return x ``` 使用时，需要自定义目标函数 `f`、梯度函数 `grad_f` 和近端算子 `prox`。然后可以传入初始点 `x0`、学习率 `step_size` 和最大迭代次数 `max_iters` 进行近端梯度下降。
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