狄利克雷卷积及常见函数与莫比乌斯反演

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狄利克雷卷积

狄利克雷卷积（Dirichlet Convolution）在解析数论中是一个非常重要的工具.

使用狄利克雷卷积可以很方便地推出一些重要函数和公式，它在信息学竞赛和解析数论中至关重要.

狄利克雷卷积是定义在数论函数间的二元运算.

数论函数，是指定义域为 $\mathbb{N}$（自然数），值域为 $\mathbb{C}$（复数） 的一类函数，每个数论函数可以视为复数的序列.

它常见的定义式为：
$$\begin{gathered} (f\ast g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})=\sum _{d|n}f(\frac{n}{d})g(d)(d\in \mathbb{N}) \\ (f\ast g)(n)=\sum _{xy=n}f(x)g(y)(x,y\in \mathbb{N}) \end{gathered}$$

狄利克雷卷积的一些定理

1. 若 $f$、$g$ 都为积性函数，那么 $f\ast g$ 也为积性函数

设 $a$、$b$ 满足 $gcd(a,b)=1$，那么：
$$\begin{array}{rl}& (f\ast g)(a)\ast (f\ast g)(b)\\ =& \sum _{d_1|a}f(d_1)g(\frac{a}{d_1})\ast \sum _{d_2|b}f(d_2)g(\frac{b}{d_2})\\ =& \sum _{d_1{d}_2|ab}f(d_1{d}_2)g(\frac{ab}{d_1{d}_2})\\ =& \sum _{d|ab}f(d)g(\frac{ab}{d})\\ =& (f\ast g)(ab)\end{array}$$
因为满足 $a$、$b$ 互质，我们能将 ${\sum }_{d_1|a}{\sum }_{d_2|b}$ 合并成 ${\sum }_{d_1{d}_2|ab}$，所以 $f\ast g$ 也就是积性函数了.

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2. 狄利克雷卷积具有交换律，即 $f\ast g=g\ast f$

$$\begin{array}{rl}& (f\ast g)(n)\\ =& \sum _{xy=n}f(x)g(y)\\ =& \sum _{yx=n}f(y)g(x)\\ =& (g\ast f)(n)\end{array}$$

显而易见

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3. 狄利克雷卷积具有结合律，即 $(f\ast g)\ast h=f\ast (g\ast h)$

$$\begin{array}{rl}& \left(\right(f\ast g)\ast h)(n)\\ =& \sum _{wz=n}(f\ast g)(w)h(z)\\ =& \sum _{wz=n}(\sum _{xy=w}f(x)g(y))h(z)\\ =& \sum _{xyz=n}f(x)g(y)h(z)\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& (f\ast (g\ast h\left)\right)(n)\\ =& \sum _{xw=n}f(x)(g\ast h)(w)\\ =& \sum _{xw=n}f(x)(\sum _{yz=w}g(y)h(z))\\ =& \sum _{xyz=n}f(x)g(y)h(z)\end{array}$$

如上，可知两式相等，结合律成立.

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4. 狄利克雷卷积具有分配律，即 $(f+g)\ast h=(f\ast h)+(g\ast h)$

$$\begin{array}{rl}& \left(\right(f+g)\ast h)(n)\\ =& \sum _{xy=n}(f(x)+g(x))h(y)\\ =& \sum _{xy=n}f(x)h(y)+g(x)h(y)\\ =& \sum _{xy=n}f(x)h(y)+\sum _{xy=n}g(x)h(y)\\ =& (f\ast h)(n)+(g\ast h)(n)\end{array}$$

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总结一下：

1. 若 $f$、$g$ 都为积性函数，那么 $f\ast g$ 也为积性函数
2. 狄利克雷卷积具有交换律，即 $f\ast g=g\ast f$
3. 狄利克雷卷积具有结合律，即 $(f\ast g)\ast h=f\ast (g\ast h)$
4. 狄利克雷卷积具有分配律，即 $(f+g)\ast h=(f\ast h)+(g\ast h)$

关于“狄利克雷卷积”名称：

首先，狄利克雷（Gustav Lejeune Dirichlet）是 19 世纪德国的数学家，他是解析数论的创立者，是解析数论很多重要理论的提出者.

“狄利克雷卷积”亦可称为“狄利克雷乘积”，如果定义普通函数加法为数论函数间的“加”运算，那么这里的狄利克雷卷积就是数论函数的“乘”运算，并且，狄利克雷卷积满足交换律、结合律和分配律，其运算法则和普通算数乘法完全类似.

函数部分（均为积性函数

单位函数（单位元）$ϵ(n)$

$$ϵ(n)=\{\begin{array}{llc}1,& & n=1\\ 0,& & \text{otherwise.}\end{array}$$

显然，有：
$$(f\ast ϵ)(n)=\sum _{d|n}f(d)ϵ(\frac{n}{d})=f(n)$$
因此，单位函数 $ϵ(n)$ 称为狄利克雷卷积的单位元，它在狄利克雷卷积中的作用和 $1$ 在普通乘法中的作用是类似的.

任何函数（包括 $ϵ$）和 $ϵ$ 进行狄利克雷卷积，都得到该函数本身.

这里再引入一个东西：

狄利克雷逆

我们可以把这里的“逆”和“逆元”作类比.

例如，在普通运算中，一个数的“逆元”就是这个数的倒数；

在同余运算中，一个数的“逆元”在同个模的意义下，能使得它与这个数相乘的结果与 1 同余.

分别而言，如果我们规定 $n$ 的逆元是 $n^{-1}$（这个符号是作为整体引入的，大多数情况下不能简单地理解为 $\frac{1}{n}$），那么就有这样两个式子：

$n\times n^{-1}=1$

$n\times n^{-1}\equiv 1\mathrm{mod}r$

数字 $1$ 代表两种运算中的单位元，所以说，逆元在类似乘法的运算中起着“倒数”的地位.

在狄利克雷卷积中，单位元为 $ϵ$，我们定义狄利克雷逆如下：
$$f\ast f^{-1}=ϵ$$
函数 $f^{-1}$ 就称为函数 $f$ 的狄利克雷逆.

幂函数 $I{d}_k(n)$

$$I{d}_k(n)=n^k$$

特别的，有：

• $k=1$ 时，为恒等函数 $Id(n)$，即 $Id(n)=n$；

• $k=0$ 时，为常数函数 $1(n)$，即 $1(n)=1$；

  这里的常数函数 $1(n)$ 的函数名是加粗了的数字 $1$，不要和 $1$ 弄混了.
  在某些场合，有人会用大写字母 $I$ 来代替 $1$，以防混淆，这里还是使用 $1$.

除数函数 ${\sigma }_k(n)$

$${\sigma }_k(n)=\sum _{d|n}{d}^k(d\in \mathbb{N})$$

直观上理解，${\sigma }_k(n)$ 表示 $n$ 的所有因子的 $k$ 次幂之和.

特别的，有：

• $k=1$ 时，为因数函数 $\sigma (n)$，即 $\sigma (n)={\sum }_{d|n}d$；
• $k=0$ 时，为个数函数 $d(n)$，即 $d(n)={\sum }_{d|n}1$；

或者说，假设 $n$ 分解为 ${\prod }_{i=1}^m{p}_i^{c_i}(c_i\in {\mathbb{N}}^{\ast },p_i\in \mathbb{P})$，那么：

• $\sigma (n)={\prod }_{i=1}^m({\sum }_{j=0}^{c_i}{p}_i^j)$
• $d(n)={\prod }_{i=1}^m(c_i+1)$

欧拉函数 $\phi (n)$

在数论中，对正整数 $n$，欧拉函数 $\phi (n)$ 是小于或等于 $n$ 的正整数中与 $n$ 互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为 $\phi$ 函数（由高斯所命名）或是欧拉总计函数（totient function，由西尔维斯特所命名）。

当 $n$ 是质数的时候，显然有 $\phi (n)=n-1$.

一些性质

1. 欧拉函数是积性函数

如果有 $\gcd (a,b)=1$，那么 $\phi (a\times b)=\phi (a)\times \phi (b)$；

特别地，当 $n$ 是奇数时 $\phi (2n)=\phi (n)$；

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2. $n={\sum }_{d\mid n}\phi (d)$

可以这样考虑：如果 $\gcd (k,n)=d$，那么 $\gcd (\frac{k}{d},\frac{n}{d})=1,(k<n)$。

如果我们设 $f(x)$ 表示 $\gcd (k,n)=x$ 的数的个数，那么 $n={\sum }_{i=1}^{n}f(i)$。

根据上面的证明，我们发现，$f(x)=\phi (\frac{n}{x})$，从而 $n={\sum }_{d|n}\phi (\frac{n}{d})$，所以上式化为 $n={\sum }_{d|n}\phi (d)$。

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3. 若 $n=p^k$，其中 $p$ 是质数，那么 $\phi (n)=p^k-p^{k-1}$。

显然对于从 $1$ 到 $p^k$ 的所有数中，除了 $p^{k-1}$ 个 $p$ 的倍数以外其它数都与 $p^k$ 互素，故 $\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}\times (p-1)$。

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那么根据 1、3 性质可得：

4. 若 $n$ 的分解为 ${\prod }_{i=1}^m{p}_i^{c_i}(c_i\in {\mathbb{N}}^{\ast },p_i\in \mathbb{P})$，则 $\phi (n)=n\times {\prod }_{i=1}^m\frac{p_i-1}{p_i}$

证明略.

欧拉定理

若 $(a,m)=1$ ，则 $a^{\phi (m)}\equiv 1(\text{mod}m)$

扩展欧拉定理

$$a^b\equiv \{\begin{array}{ll}{a}^{b\mathrm{mod}\phi (p)}& (a,p)=1\\ a^b& (a,p)\ne 1,b<\phi (p)\\ a^{b\mathrm{mod}\phi (p)+\phi (p)}& (a,p)\ne 1,b\ge \phi (p)\end{array}\mathrm{mod}m$$

莫比乌斯函数 $\mu (n)$ 与 莫比乌斯反演（Möbius Inversion）

$$\mu (n):=\{\begin{array}{llc}1& & n=1\\ 0& & n含有平方因子\\ (-1{)}^k& & k为n的本质不同质因子个数\end{array}$$

或者说，若 $n$ 的分解为 ${\prod }_{i=1}^m{p}_i^{c_i}(c_i\in {\mathbb{N}}^{\ast },p_i\in \mathbb{P})$：

• 若 $n=1$，那么 $\mu (n)=1$；

• 若 $\exists i\in [1,m]$，使得 $c_i\ge 2$，那么 $\mu (n)=0$，否则 $\mu (n)=(-1{)}^m$；

一些性质

1. 莫比乌斯函数为积性函数；

2. ${\sum }_{d\mid n}\mu (d)=\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ 0& n\ne 1\end{array}$

设 $n={\prod }_{i=1}^k{p_i}^{c_i},n^{\prime }={\prod }_{i=1}^k{p}_i$ 那么 ${\sum }_{d|n}\mu (d)={\sum }_{d|n^{\prime }}\mu (d)={\sum }_{i=0}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\right)\cdot (-1{)}^i=(1+(-1){)}^k$，根据二项式定理，易知该式子的值在 $k=0$ 即 $n=1$ 时值为 $1$ 否则为 $0$，这也同时证明了 ${\sum }_{d|n}\mu (d)=[n=1]=\epsilon (n)$ 以及 $\mu \ast 1=\epsilon$.

所以，莫比乌斯函数也可定义为函数 $1$ 的逆，即 $\mu =1^{-1}$，那么就可以使用狄利克雷卷积来推导出莫比乌斯反演的结论了：
$$g=f\ast 1\iff f=g\ast \mu$$
将其展开，即：
$$g(n)=\sum _{d|n}f(d)\iff f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)g(\frac{n}{d})$$

莫比乌斯反演扩展

对于数论函数 $f,g$ 和完全积性函数 $t$ 且 $t(1)=1$:
$$f(n)=\sum _{i=1}^{n}t(i)g(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )⟺g(n)=\sum _{i=1}^n\mu (i)t(i)f(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$$

常用狄利克雷卷积

$ϵ=\mu \ast 1$

上文：

设 $n={\prod }_{i=1}^k{p_i}^{c_i},n^{\prime }={\prod }_{i=1}^k{p}_i$ 那么 ${\sum }_{d|n}\mu (d)={\sum }_{d|n^{\prime }}\mu (d)={\sum }_{i=0}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\right)\cdot (-1{)}^i=(1+(-1){)}^k$，根据二项式定理，易知该式子的值在 $k=0$ 即 $n=1$ 时值为 $1$ 否则为 $0$，这也同时证明了 ${\sum }_{d|n}\mu (d)=[n=1]=\epsilon (n)$ 以及 $\mu \ast 1=\epsilon$.

$d=1\ast 1$、$\sigma =Id\ast 1$

均易证，略

$Id=\phi \ast 1$、$\phi =\mu \ast Id$

上文：

$Id(n)=n={\sum }_{d\mid n}\phi (d)$

可以这样考虑：如果 $\gcd (k,n)=d$，那么 $\gcd (\frac{k}{d},\frac{n}{d})=1,(k<n)$。

如果我们设 $f(x)$ 表示 $\gcd (k,n)=x$ 的数的个数，那么 $n={\sum }_{i=1}^{n}f(i)$。

根据上面的证明，我们发现，$f(x)=\phi (\frac{n}{x})$，从而 $n={\sum }_{d|n}\phi (\frac{n}{d})$。注意到约数 $d$ 和 $\frac{n}{d}$ 具有对称性，所以上式化为 $n={\sum }_{d|n}\phi (d)$。

而因为 $\mu$ 是 $1$ 的逆，所以 $\phi \ast 1\ast \mu =Id\ast \mu =\phi$