Dirichlet卷积

莫比乌斯反演的前置知识

定义

设$f,g$是数论函数，考虑数论函数$h$满足

$$h(n)=\sum _{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$$

则称$h$为$f$和$g$的狄利克雷卷积，记作$h=f\ast g$，这里的$\ast$表示卷积。

比如$h(6)=f(1)\ast g(6)+f(2)\ast g(3)+f(3)\ast g(2)+f(6)\ast g(1)$

性质

1. 单位函数$ϵ$是狄利克雷卷积的单位元，即对于任意函数$f$，有$ϵ\ast f=f\ast ϵ=f$。
2. 狄利克雷卷积满足交换律和结合律。
3. 如果$f,g$都是积性函数，那么$f\ast g$也是积性函数。

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许多关系都可以用狄利克雷卷积来表示。

下面用$1$来表示取值恒为$1$的常函数，定义幂函数${\text{Id}}_k(n)=n^k,{\text{Id=Id}}_1$。

除数函数的定义可以写为：

$${\sigma }_k=1\ast {\text{Id}}_k$$

欧拉函数的性质可以写为：

$$\text{Id}=\phi \ast 1$$

计算狄利克雷卷积

设$f,g$是数论函数，计算$f$和$g$的狄利克雷卷积在$n$处的值需要枚举$n$的所有约数。

如果要计算$f$和$g$的狄利克雷卷积的前$n$项，可以枚举$1$到$n$中每个数的倍数，根据调和数的相关结论，这样做的复杂度是$O(n\log n)$。

求函数的逆

狄利克雷卷积有一个性质：对每个$f(1)\ne 0$的函数$f$，都存在一个函数$g$使得 $f\ast g=ϵ$

那么我们如何求出一个函数的逆呢？

只需要定义：

$$g(n)=\frac{1}{f(1)}\left([n=1]-\sum _{i\mid n,i\ne 1}f(i)g\left(\frac{n}{i}\right)\right)$$

这样的话

$$\begin{array}{rl}& \sum _{i\mid n}f(i)g\left(\frac{n}{i}\right)\\ & =f(1)g(n)+\sum _{i\mid n,i\ne 1}f(i)g\left(\frac{n}{i}\right)\\ & =[n=1]\end{array}$$

最后一步直接把$g(n)$的定义带进去就好

即

$$=f(1)\ast \frac{1}{f(1)}([n=1]-\sum _{i|n,i\ne 1}f(i)g(\frac{n}{i}))+\sum _{i|n,i\ne 1}f(i)g(\frac{n}{i})$$

例题

P2303 [SDOI2012]Longge的问题

给定正整数$n$，求

$$\sum _{i=1}^{n}gcd(i,n),n\le 2^{32}$$

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枚举$\text{gcd}$：

KaTeX parse error: No such environment: align* at position 7: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ \sum_{i=1}^{…

枚举$n$的约数直接求。答案是积性的。

#include <cmath> 
#include <cstdio>
#include <cstring> 
#include <iostream>
#define int long long
using namespace std;

inline int read() {
	char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
	for ( ; !isdigit(c); c = getchar()) if(c == '-') f = -1; 
	for ( ; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + (c ^ 48);
	return x * f;
}

int n, ans;

int euler(int x) {
	int ans = x, rt = sqrt(x);
	for (int i = 2; i <= rt; i++) {
		if (x % i == 0) {
			ans = ans - ans / i;
			while (x % i == 0) x /= i;
		}
	}
	if (x > 1) ans = ans - ans / x;
	return ans;
}

signed main() {
	n = read();
	int x = sqrt(n);
	for (int i = 1; i <= x; i++) {
		if (n % i == 0) {
			ans += euler(n / i) * i;
			if (i * i != n) ans += euler(i) * (n / i);
		}
	}
	cout << ans << '\n';
	return 0;
}