P3811 【模板】乘法逆元

最新推荐文章于 2022-07-06 11:57:20 发布

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分类专栏： Daily algorithm

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本文介绍了乘法逆元的概念，基于费马小定理和扩展欧几里得算法两种方法来求解模p下的乘法逆元，并讨论了这两种方法的效率差异。乘法逆元是数论中的一个重要概念，当a与p互质时，存在x使得ax ≡ 1 (mod p)。费马小定理提供了一种变形求解的方法，而扩展欧几里得算法能直接找到满足条件的x。通过快速幂和扩展欧几里得算法的比较，表明扩展欧几里得在效率上更优。

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1.乘法逆元（在维基百科中也叫倒数，当然是 mod p后的,其实就是倒数不是吗？）:

如果ax≡1 (mod p),且gcd(a,p)=1（a与p互质），则称a关于模p的乘法逆元为x。

2.费马小定理（定义来自维基百科）：

假如a是一个整数，p是一个质数，那么 $a^p - a$ 是p的倍数，可以表示为

$a^p \equiv a \pmod{p}$

如果a不是p的倍数，这个定理也可以写成

$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$

扩展欧几里得

（定义来自维基百科）:

已知整数a、b，扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y（其中一个很可能是负数），使它们满足贝祖等式 $ax + by = \gcd(a, b)$ 。

好了，在明白上面的定理后我们开始分析乘法逆元：ax≡1 (mod p) 这个等式用中文描述就是 a乘一个数x并模p等于1，即 a%p*x%p=res,res%p=1;看上去就是同余定理的一个简单等式- -。那么问题来了。

为什么可以用费马小定理来求逆元呢？

由费马小定理 ap-1≡1 , 变形得 a*ap-2≡1(mod p)，答案已经很明显了:若a,p互质,因为a*ap-2≡1(mod p)且a*x≡1(mod p),则x=ap-2(mod p),用快速幂可快速求之。

为什么可以用扩展欧几里得求得逆元？

我们都知道模就是余数，比如12%5=12-5*2=2，18%4=18-4*4=2。（/是程序运算中的除）

那么ax≡1 (mod p)即ax-yp=1.把y写成+的形式就是ax+py=1，为方便理解下面我们把p写成b就是ax+by=1。就表示x是a的模b乘法逆元，y是b的模a乘法逆元。然后就可以用扩展欧几里得求了。

快速幂 64分

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long gcd(long long a,long long b,long long mod)
{
    long long ans=1;
    while(b){
        if(b&1){
            ans=(ans*a)%mod; 
        }
        b>>=1;
        a=(a*a)%mod;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    long long n,p;
    scanf("%lld %lld",&n,&p);
    for(long long i=1;i<=n;i++){
        printf("%lld\n",gcd(i,p-2,p));
    }
    return 0;
}

扩展欧几里得 80分

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int l,m,n,s,p;
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if (!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int z=x;
    x=y;
    y=z-a/b*y;
}
int main()
{
    register int a,b,x,y;
    cin>>n>>p;
    for (a=1;a<=n;++a)
    {
        exgcd(a,p,x,y);
        cout<< (x%p+p)%p;
        putchar('\n');
    }
    return 0;
}

可以看出扩展欧几里得比费小马定理快

线性求解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N= 3e6+10;
int inv[N];
int main()
{
	int n,p;scanf("%d %d",&n,&p);
	inv[1]=1;
	printf("1\n");
	for(int i=2;i<=n;i++){
		inv[i]=(long long)(p-p/i)*inv[p%i]%p;
		printf("%d\n",inv[i]);
	} 
	return 0;
}