【模板】乘法逆元

本文介绍了一种通过递推公式高效计算逆元的方法,并提供了一个完整的C++代码示例。该方法适用于大整数和模意义下的逆元计算。

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逆元有4种求法:

费马小定理

exgcd

递推式(本方法)

快速幂

// luogu-judger-enable-o2
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std ;
typedef long long ll ;
const int N = 3000010 ;
ll n,p ;
ll a[N] ;
int main(){
    scanf("%lld %lld",&n,&p) ;
    a[1]=1 ;
    for (int i=2;i<=n;i++) a[i]=1LL*(p-p/i)*a[p%i]%p ;
    for (int i=1;i<=n;i++) printf("%lld\n",a[i]) ;
    return 0 ;
}
### 逆元的概念及其应用 #### 1. 数学定义 在数学中,特别是模运算领域,逆元是一个非常重要的概念。对于特定的运算和集合,逆元有着严格的定义。当提到编程算法中的逆元时,通常指的是模数下的乘法逆元[^1]。 具体来说,如果存在两个整数 \(a\) 和 \(x\),使得 \((a * x) \% m = 1\) 成立,则称 \(x\) 是 \(a\) 在模 \(m\) 下的乘法逆元。这里的关键在于找到这样的 \(x\)[^2]。 #### 2. 计算方法 为了求解乘法逆元,扩展欧几里得算法是一种常用的方法。该算法适用于满足条件 \(gcd(a, m) = 1\) 的情况。通过解决方程 \(ax + my = 1\) 来获取所需的 \(x\) 值作为最终的结果[(x % m + m) % m][^4]。 以下是利用C++实现上述过程的一个简单例子: ```cpp int exGcd(int a, int b, int &x, int &y){ if(b == 0){ x = 1; y = 0; return a; } int r = exGcd(b, a%b, y, x); y -= a / b * x; return r; } // 模板函数用于计算a关于mod m的乘法逆元 int mod_inverse(int a, int m){ int x, y; int g = exGcd(a, m, x, y); if(g != 1){ // 如果最大公约数不是1则不存在逆元 throw std::invalid_argument("No modular multiplicative inverse exists"); } return (x % m + m) % m; // 返回正余数值形式的答案 } ``` 此代码片段展示了如何使用扩展欧几里德算法来寻找给定\(a\)相对于某个质数\(p\)(即此时\(m=p\))的乘法逆元。注意这里的`exGcd()`实现了经典的递归版本的扩展欧几里德算法,并返回了最大公因数以及相应的系数\[x,y\];而`mod_inverse()`则是用来处理特殊情况并调用前者完成实际工作的辅助函数。 #### 3. 应用场景 考虑到模运算是离散数学的重要组成部分之一,在密码学等领域内扮演着不可或缺的角色。因此理解并掌握好有关逆元的知识不仅有助于加深对基础理论的认识,也能为后续学习更高级别的技术打下坚实的基础[^5]。
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