线性回归预测房价

给定数据集dataSet，每一行代表一组数据记录,每组数据记录中，第一个值为房屋面积（单位：平方英尺），第二个值为房屋中的房间数，第三个值为房价（单位：千美元），试用梯度下降法，构造损失函数，在函数gradientDescent中实现房价price关于房屋面积area和房间数rooms的线性回归，返回值为线性方程 price = ${\theta }_0$+${\theta }_1$∗area+${\theta }_2$∗rooms 中系数 ${\theta }_i$(?=0,1,2) 的列表

思路：
我们将用梯度下降法来拟合出这条直线！
首先，我们需要定义一个代价函数，在此我们选用均方误差代价函数
$$J(\theta )=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m{h}_{\theta }(x^{(i)}-y^{(i)}{)}^2$$

• m是数据集中点的个数
• $\frac{1}{2}$是一个常量，这样是为了在求梯度的时候，二次方乘下来就和这里的$\frac{1}{2}$抵消了，自然就没有多余的常数系数，方便后续的计算，同时对结果不会有影响
• y 是数据集中每个点的真实y坐标的值
• h 是我们的预测函数，根据每一个输入x，根据 $\theta$ 计算得到预测的y值，即
  $h_{\theta }(x^{(i)})={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1^{(i)}$，

本题的$h_{\theta }(x^{(i)})$函数为 price = ${\theta }_0$+${\theta }_1$∗area+${\theta }_2$∗rooms
我们可以根据代价函数看到，代价函数中的变量有三个(${\theta }_0，{\theta }_1，{\theta }_2$)，所以是一个多变量的梯度下降问题，求解出代价函数的梯度，也就是分别对三个变量进行微分
$$\nabla J(\theta )=⟨\frac{\partial J}{\partial {\theta }_0},\frac{\partial J}{\partial {\theta }_1},\frac{\partial J}{\partial {\theta }_2}⟩$$
$$\frac{\partial J}{\partial {\theta }_0}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta (x^{(i)})-y^{(i)}})$$
$$\frac{\partial J}{\partial {\theta }_1}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta (x^{(i)})-y^{(i)}})x_1^{(i)}$$
$$\frac{\partial J}{\partial {\theta }_2}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta (x^{(i)})-y^{(i)}})x_2^{(i)}$$

这个表达式 的意思就是 求$\theta$的偏导 就是先将预测值 $h_{\theta }(x^{(i)})$减去实际的值$y^{(i)}$乘以偏移量$x^{(i)}$ 的总和加起来除以所有的组数。
明确了代价函数和梯度，以及预测的函数形式。我们就可以开始编写代码了。
每次迭代时，都会有$\theta$ = $\theta$ - $\frac{\partial J}{\partial \theta }$*lr (learning rate)，经过n次迭代后，最终梯度下降到最优解附近。此时，模型就训练成功。

首先确定这是一个三元线性回归问题，我们需要人为设置的参数有学习率learning rate，还有迭代的次数epchos。
实现该线性回归主要有三步：
第一步，获得要训练的数据，也就是房子的大小，房间数以及房子的价格
第二步：设置初始的三个未知数${\theta }_0,{\theta }_1,{\theta }_2$的值，也就是线性方程的系数，刚开始，随机为1,2,1
第三步：根据设置的${\theta }_0,{\theta }_1,{\theta }_2$的值，将相应的房间大小和房价数都放入函数中，求得一个预测的房价preditc_y。用预测的房价减去实际的房价，对他们的结果求平方，并将这n组数据求得的平方结果累加起来。来算一下损失函数（就是求均方差）。
每次预测完房子的价格，都将相应的${\theta }_0,{\theta }_1,{\theta }_2$向真实的房价偏移，偏移量是（预测房价-真实房价）X 相应的参数（如果求${\theta }_0$，那就是乘1，如果是${\theta }_1$，那就乘area对应的值，如果是${\theta }_2$，那就乘rooms对应的值），该偏移量是向上偏移（即函数中的系数$\theta$值变大）还是向下偏移，取决于预测值predict_y是低于还是高于真实价格。
就这样一直进行偏移量操作，一直对$\theta$进行迭代。

下面就上代码吧
导入库函数和数据

%matplotlib inline

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import genfromtxt
dataPath = r"./Input/data1.csv"
dataSet = pd.read_csv(dataPath,header=None)

price = []
rooms = []
area = []

for data in range(0,len(dataSet)):
    area.append(dataSet[0][data])
    rooms.append(dataSet[1][data])
    price.append(dataSet[2][data])

梯度下降核心代码

def gradientDescent(rooms, price, area):
    """
    梯度下降法。给定起始点与目标函数的一阶导数，求在epochs次迭代中theta0,theta1,theta2的更新值
    param theta0
    """
    theta = [1,2,1] #预设theta初值
    learn_rate = 0.0000000001 #学习率
    predit_y = 0 #预测值
    loss = [] #损失数组
    epochs = 5000 #迭代次数
    
    for j in range(epochs):
        theta0,theta1,theta2= 0,0,0
        loss_t = 0 #计算总体的方差
        for i in range(5):   #一共五组数据
            predit_y =  theta[0] + theta[1] * area[i] + theta[2]*rooms[i]
            theta0 = theta0 + (predit_y - price[i])*1
            theta1 = theta1 + (predit_y - price[i])*area[i]
            theta2 = theta2 + (predit_y - price[i])*rooms[i] 
            loss_t = loss_t + ((predit_y-price[i])**2)/2
        loss.append(loss/5)
        theta0 = theta0  / 5
        theta1 = theta1  / 5
        theta2 = theta2  / 5
        theta[0] = theta[0] - theta0*learn_rate
        theta[1] = theta[1] - theta1*learn_rate
        theta[2] = theta[2] - theta2*learn_rate
    plt.plot(loss,c='b')
    plt.show()
    return theta

主函数调用

def demo_GD():
    print("hello")
    gradientDescent(rooms,price,area)
demo_GD()

参考文章：

作者：六尺帐篷
链接：https://www.jianshu.com/p/c7e642877b0e
来源：简书
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