单源最短路径中Dijkstra算法正确性

单源最短路径

Dijkstra算法正确性

注：要证明算法的正确性，也即证明下述命题的正确性：

命题：在单源最短路径中，Dijkstra算法通过贪心策略取得的解是整体最优解。

也即局部最优解为整体最优解。

贪心选择性质

从源v到u，我们选择在当前S内，从源v到点u的最短距离dist[u]（局部最优解）

若想推翻命题，那么我们需要找到另外一条路径，使得从源v到u的距离小于dist[u]。

其表达目的：在单源最短路径中，局部最优解不能作为整体最优解。

假设存在这样的一条路径，从S先到x，然后徘徊于S内外（目的：扩展当前S），然后再到u，得到解优于dist[u]。

此时，距离可表述为：$d(v,x)+d(x,u)$

因为边权非负，所以$d(x,u)>0$，同时$dist[x]<d(v,x)$，并且 d i s t [ u