6.9.单源最短路径问题-BFS算法

一.前言：

问题1：

以上述图片为例，比如从G港到Y城，可以是G港->R城->Y城，也可以是G港->P城->Y城等，有很多条路径都可以实现从G港到Y城，但要从中找出G港到Y城距离最短的那一条路径，这就是单源最短路径问题。

单源最短路径问题就是只有一个源头，从该源头出发，到达其他任意一个顶点可以走的最短路径。

对于单源最短路径的题型，需要掌握BFS算法（可以求无权图的单源最短路径）和Dijkstra算法（可以求带权图和无权图的单源最短路径）。

问题2：

上述图片的各个城市需要往来，相互之间怎么走距离最近呢？比如R城和M城之间要走哪条路比较划算即距离最近，Y城和P城之间要走哪条路比较划算即距离最近，所以在这样的应用场景之下，我们就要确定每对顶点间的最短路径。

对于各顶点间的最短路径的题型，需要掌握Floyd算法（可以求带权图和无权图的各顶点间的最短路径）。

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二.BFS算法求无权图的单源最短路径的准备工作：

1.注意：无权图可以视为一种特殊的带权图，只是每条边的权值都为1或者权值都一样的边

2.实例：

以上述图片为例，从2号顶点出发，求出到达各个顶点的最短路径，如下图：

如上图，通过BFS算法，从2号顶点出发，可以找到与2号顶点相邻的的顶点即1、6号顶点，2号顶点与1、6号顶点之间的距离都是1（无向图的边的权值可以视为1），如下图：

如上图，通过1、6号顶点可以找到5、3、7号顶点，2号顶点到达5、3、7号顶点的最短路径都是2，如下图：

如上图，继续往下找可以找到4、8号顶点，2号顶点到达4、8号顶点的最短路径都是3，如下图：

所以对上述图片里的图执行一次BFS算法即广度优先遍历，就可以得到2号顶点到达其他所有顶点的最短路径。

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三.BFS算法求无权图的单源最短路径的代码实现：

1.代码：

如上图，需要在原有的BFS算法的代码上进行改造->在BFS函数中用visit函数来抽象地表示出对某一个顶点的访问，改造成求最短路径，只需要把visit函数的作用进行改造即可，如下图：

上述图片的代码解读：

• BFS_MIN_Distance函数的第一个形参Graph G表示图，第二个形参int u表示当前顶点的编号，G.vexnum表示图的顶点个数；

• d[]数组用来记录起始顶点到各个顶点的最短路径的长度；path[]数组用来记录每一个顶点在这个最短路径上的直接前驱，path数组就是记录这条最短路径是从哪个顶点过来的；

2.举例：

如上图，以2号顶点为例，求2号顶点到达其他顶点的最短路径->

BFS_MIN_Distance函数的第一个形参Graph G表示图，第二个形参int u表示当前顶点的编号，

由于此时操作的是2号顶点，因此BFS_MIN_Distance函数的第二个形参u等于2；

d[]数组用来记录起始顶点到各个顶点的最短路径的长度；path[]数组用来记录每一个顶点在这个最短路径上的直接前驱，path数组就是记录这条最短路径是从哪个顶点过来的，

由于一开始并不知道顶点间的距离和顶点前驱，因此第一个for循环把d数组的值都初始化为无穷，path数组的值都初始化为-1，

d[u]就是起始顶点到第u号顶点的最短路径，由于2号顶点是起始顶点，第u号顶点也是2号顶点，2号顶点到2号顶点的最短路径为0，因此d[2]=0；

visited[u]=true表示第u号顶点已经被访问过，EnQueue(Q,u)函数代表第u号顶点进入队列Q，

此时就是visited[2]=true即2号顶点被访问过，并把第2号顶点放入队列Q中，如下图：

如上图，继续判断是否执行while循环，

Q队列为空时isEmpty(Q)的值为true，Q队列非空时isEmpty(Q)的值为false，

由于此时队列Q中有2号顶点即Q队列非空，因此isEmpty(Q)的值为false，!isEmpty(Q)的值为true，

此时执行while循环，首先执行DeQueue(Q,u)函数弹出队头元素即弹出第u号顶点，此时是弹出第2号顶点，如下图：

如上图，接下来执行while循环里的for循环，for循环可以找到与第u号顶点相邻的所有顶点，此时就是找到与2号顶点相邻的所有顶点，现在可以找到1、6号顶点，以1号顶点为例，此时w为1，

如果其中的某个顶点即w号顶点没有被访问过即对应的visited值为false，!visited[w]为true，那么就会执行if语句，由于此时w为1，1号顶点没有被访问过，因此执行if语句，

d[w]=d[u]+1意味着当前顶点即第u号顶点到达相邻顶点即第w号顶点的最短路径加1，此时就是d[1]=d[2]+1，由于d[2]为0，那么d[1]为1，意味着从2号顶点到1号顶点的最短路径为1，

还需要修改path数组的值，path数组就是记录这条最短路径是从哪个顶点过来的，1号顶点是从2号顶点过来的，所以1号顶点的直接前驱是2号顶点即path[1]=2，

访问过的顶点visited的值修改为true，即visited[1]=true，

执行EnQueue(Q,w)让第w号顶点入Q队列，此时让1号顶点入Q队列，

同理，d[6]为1，path[6]=2，visited[6]=true，6号顶点入Q队列，

至此2号顶点处理完毕，如下图：

如上图，继续判断是否执行while循环，

Q队列为空时isEmpty(Q)的值为true，Q队列非空时isEmpty(Q)的值为false，

由于此时队列Q中有1、6号顶点即Q队列非空，因此isEmpty(Q)的值为false，!isEmpty(Q)的值为true，

此时执行while循环，首先执行DeQueue(Q,u)函数弹出队头元素即弹出第u号顶点，此时是弹出第1号顶点（注：虽然一开始u是第2号顶点，但DeQueue函数中的具体内容已经把u的赋值操作完成了即把2改为1，就是把队头元素即第1号顶点弹出队列，之后的u就代表当前顶点即1号顶点），

开始操作第1号顶点->

如上图，接下来执行while循环里的for循环，for循环可以找到与第u号顶点相邻的所有顶点，此时就是找到与1号顶点相邻的所有顶点，现在可以找到2、5号顶点，第一个找到的是2号顶点，由于2号顶点已经被访问过，因此不会执行if语句，会跳过2号顶点，

第二个找到的是5号顶点，此时w为5，

如果其中的某个顶点即w号顶点没有被访问过即对应的visited值为false，!visited[w]为true，那么就会执行if语句，由于此时w为5，5号顶点没有被访问过，因此执行if语句，

d[w]=d[u]+1意味着当前顶点即第u号顶点到达相邻顶点即第w号顶点的最短路径加1，此时就是d[5]=d[1]+1，由于d[1]为1，那么d[5]为2，意味着从2号顶点到5号顶点的最短路径为2，

还需要修改path数组的值，path数组就是记录这条最短路径是从哪个顶点过来的，5号顶点是从1号顶点过来的，所以5号顶点的直接前驱是1号顶点即path[5]=1，

访问过的顶点visited的值修改为true，即visited[5]=true，

执行EnQueue(Q,w)让第w号顶点入Q队列，此时让5号顶点入Q队列，

至此1号顶点处理完毕，如下图：

如上图，继续判断是否执行while循环，

Q队列为空时isEmpty(Q)的值为true，Q队列非空时isEmpty(Q)的值为false，

由于此时队列Q中有6、5号顶点即Q队列非空，因此isEmpty(Q)的值为false，!isEmpty(Q)的值为true，

此时执行while循环，首先执行DeQueue(Q,u)函数弹出队头元素即弹出第u号顶点，此时是弹出第6号顶点（注：虽然一开始u是第1号顶点，但DeQueue函数中的具体内容已经把u的赋值操作完成了即把1改为6，就是把队头元素即第6号顶点弹出队列，之后的u就代表当前顶点即6号顶点），

开始操作第6号顶点->

如上图，接下来执行while循环里的for循环，for循环可以找到与第u号顶点相邻的所有顶点，此时就是找到与6号顶点相邻的所有顶点，现在可以找到2、3、7号顶点，第一个找到的是2号顶点，由于2号顶点已经被访问过，因此不会执行if语句，会跳过2号顶点，

第二个找到的是3号顶点，此时w为3，

如果其中的某个顶点即w号顶点没有被访问过即对应的visited值为false，!visited[w]为true，那么就会执行if语句，由于此时w为3，3号顶点没有被访问过，因此执行if语句，

d[w]=d[u]+1意味着当前顶点即第u号顶点到达相邻顶点即第w号顶点的最短路径加1，此时就是d[3]=d[6]+1，由于d[6]为1，那么d[3]为2，意味着从2号顶点到3号顶点的最短路径为2，

还需要修改path数组的值，path数组就是记录这条最短路径是从哪个顶点过来的，3号顶点是从6号顶点过来的，所以3号顶点的直接前驱是6号顶点即path[3]=6，

访问过的顶点visited的值修改为true，即visited[3]=true，

执行EnQueue(Q,w)让第w号顶点入Q队列，此时让3号顶点入Q队列，

同理，d[7]为2，path[7]=6，visited[7]=true，7号顶点入Q队列，

至此6号顶点处理完毕，如下图：

如上图，继续判断是否执行while循环，

Q队列为空时isEmpty(Q)的值为true，Q队列非空时isEmpty(Q)的值为false，

由于此时队列Q中有5、3、7号顶点即Q队列非空，因此isEmpty(Q)的值为false，!isEmpty(Q)的值为true，

此时执行while循环，首先执行DeQueue(Q,u)函数弹出队头元素即弹出第u号顶点，此时是弹出第5号顶点（注：虽然一开始u是第6号顶点，但DeQueue函数中的具体内容已经把u的赋值操作完成了即把6改为5，就是把队头元素即第5号顶点弹出队列，之后的u就代表当前顶点即5号顶点），

开始操作第5号顶点->

如上图，接下来执行while循环里的for循环，for循环可以找到与第u号顶点相邻的所有顶点，此时就是找到与5号顶点相邻的所有顶点，现在可以找到1号顶点，由于1号顶点已经被访问过，因此不会执行if语句，会跳过1号顶点，

至此5号顶点处理完毕，如下图：

如上图，继续判断是否执行while循环，

Q队列为空时isEmpty(Q)的值为true，Q队列非空时isEmpty(Q)的值为false，

由于此时队列Q中有3、7号顶点即Q队列非空，因此isEmpty(Q)的值为false，!isEmpty(Q)的值为true，

此时执行while循环，首先执行DeQueue(Q,u)函数弹出队头元素即弹出第u号顶点，此时是弹出第3号顶点（注：虽然一开始u是第5号顶点，但DeQueue函数中的具体内容已经把u的赋值操作完成了即把5改为3，就是把队头元素即第3号顶点弹出队列，之后的u就代表当前顶点即3号顶点），

开始操作第3号顶点->

如上图，接下来执行while循环里的for循环，for循环可以找到与第u号顶点相邻的所有顶点，此时就是找到与3号顶点相邻的所有顶点，现在可以找到4、6、7号顶点，

第一个找到的是4号顶点，此时w为4，

如果其中的某个顶点即w号顶点没有被访问过即对应的visited值为false，!visited[w]为true，那么就会执行if语句，由于此时w为4，4号顶点没有被访问过，因此执行if语句，

d[w]=d[u]+1意味着当前顶点即第u号顶点到达相邻顶点即第w号顶点的最短路径加1，此时就是d[4]=d[3]+1，由于d[3]为2，那么d[4]为3，意味着从2号顶点到4号顶点的最短路径为3，

还需要修改path数组的值，path数组就是记录这条最短路径是从哪个顶点过来的，4号顶点是从3号顶点过来的，所以4号顶点的直接前驱是3号顶点即path[4]=3，

访问过的顶点visited的值修改为true，即visited[4]=true，

执行EnQueue(Q,w)让第w号顶点入Q队列，此时让4号顶点入Q队列，

之后依次找到的是6、7号顶点，由于6、7号顶点已经被访问过，因此不会执行if语句，会跳过6、7号顶点，

至此3号顶点处理完毕，如下图：

如上图，继续判断是否执行while循环，

Q队列为空时isEmpty(Q)的值为true，Q队列非空时isEmpty(Q)的值为false，

由于此时队列Q中有7、4号顶点即Q队列非空，因此isEmpty(Q)的值为false，!isEmpty(Q)的值为true，

此时执行while循环，首先执行DeQueue(Q,u)函数弹出队头元素即弹出第u号顶点，此时是弹出第7号顶点（注：虽然一开始u是第3号顶点，但DeQueue函数中的具体内容已经把u的赋值操作完成了即把3改为7，就是把队头元素即第7号顶点弹出队列，之后的u就代表当前顶点即7号顶点），

开始操作第7号顶点->

如上图，接下来执行while循环里的for循环，for循环可以找到与第u号顶点相邻的所有顶点，此时就是找到与7号顶点相邻的所有顶点，现在可以找到3、4、6、8号顶点，前三次依次找到的是3、4、6号顶点，由于3、4、6号顶点已经被访问过，因此不会执行if语句，会跳过3、4、6号顶点，

第四个找到的是8号顶点，此时w为8，

如果其中的某个顶点即w号顶点没有被访问过即对应的visited值为false，!visited[w]为true，那么就会执行if语句，由于此时w为8，8号顶点没有被访问过，因此执行if语句，

d[w]=d[u]+1意味着当前顶点即第u号顶点到达相邻顶点即第w号顶点的最短路径加1，此时就是d[8]=d[7]+1，由于d[7]为2，那么d[8]为3，意味着从2号顶点到8号顶点的最短路径为3，

还需要修改path数组的值，path数组就是记录这条最短路径是从哪个顶点过来的，8号顶点是从7号顶点过来的，所以8号顶点的直接前驱是7号顶点即path[8]=7，

访问过的顶点visited的值修改为true，即visited[8]=true，

执行EnQueue(Q,w)让第w号顶点入Q队列，此时让8号顶点入Q队列，

至此7号顶点处理完毕，如下图：

如上图，继续判断是否执行while循环，

Q队列为空时isEmpty(Q)的值为true，Q队列非空时isEmpty(Q)的值为false，

由于此时队列Q中有4、8号顶点即Q队列非空，因此isEmpty(Q)的值为false，!isEmpty(Q)的值为true，

此时执行while循环，首先执行DeQueue(Q,u)函数弹出队头元素即弹出第u号顶点，此时是弹出第4号顶点（注：虽然一开始u是第7号顶点，但DeQueue函数中的具体内容已经把u的赋值操作完成了即把7改为4，就是把队头元素即第4号顶点弹出队列，之后的u就代表当前顶点即4号顶点），

开始操作第4号顶点->

如上图，接下来执行while循环里的for循环，for循环可以找到与第u号顶点相邻的所有顶点，此时就是找到与4号顶点相邻的所有顶点，现在可以找到3、7、8号顶点，由于3、7、8号顶点都已经被访问过，因此都不会执行if语句，会跳过3、7、8号顶点，

至此4号顶点处理完毕，如下图：

如上图，继续判断是否执行while循环，

Q队列为空时isEmpty(Q)的值为true，Q队列非空时isEmpty(Q)的值为false，

由于此时队列Q中有8号顶点即Q队列非空，因此isEmpty(Q)的值为false，!isEmpty(Q)的值为true，

此时执行while循环，首先执行DeQueue(Q,u)函数弹出队头元素即弹出第u号顶点，此时是弹出第8号顶点（注：虽然一开始u是第4号顶点，但DeQueue函数中的具体内容已经把u的赋值操作完成了即把4改为8，就是把队头元素即第8号顶点弹出队列，之后的u就代表当前顶点即8号顶点），

开始操作第8号顶点->

如上图，接下来执行while循环里的for循环，for循环可以找到与第u号顶点相邻的所有顶点，此时就是找到与8号顶点相邻的所有顶点，现在可以找到4、7号顶点，由于4、7号顶点都已经被访问过，因此都不会执行if语句，会跳过4、7号顶点，

至此8号顶点处理完毕，如下图：

如上图，继续判断是否执行while循环，

Q队列为空时isEmpty(Q)的值为true，Q队列非空时isEmpty(Q)的值为false，

由于此时队列Q中没有顶点即Q队列为空，因此isEmpty(Q)的值为true，!isEmpty(Q)的值为false，

此时不再执行while循环了，至此BFS_MIN_Distance函数结束，

如下图：

如上图，最终得到了从2号顶点出发，到达其他所有顶点的最短路径长度，还有最短路径中完整的路径信息即path数组。

3.代码核心：该算法的核心就是BFS算法，只不过在BFS算法上增加了d数组和path数组，对于d数组和path数组的使用如下

以刚才的例子为例，如下图：

如上图，比如要想知道2号顶点到8号顶点的最短路径的信息，只需要找到8号顶点对应的d数组和path数组即可，

从d数组可以得知从2号顶点到8号顶点的最短路径长度为3，

通过path数组可以得知8号顶点的前驱是7号顶点，7号顶点的前驱是6号顶点，6号顶点的前驱是2号顶点，最终逆向找到了最原始的起点即找到了2号顶点，因此这条最短路径就是2->6->7->8，如下图：

如上图，上述图片里的图可以得出一个广度优先生成树，如下图，

通过观察可以发现，各个顶点在树的第几层，也直接的反映了从起点2到达其他顶点的最短路径是多少，因为该广度优先生成树是通过BFS算法得出的，那么该生成树的深度（高度）也一定是最小的，

比如8号顶点在树的第四层，那么2号顶点到达8号顶点的最短路径长度为3，最短路径是2->6->7->8：

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