36、解决模相似群不变的几何约束问题

解决模相似群不变的几何约束问题

在计算机辅助设计（CAD）领域，解决几何约束问题是一个重要的研究方向。传统上，CAD 中的几何约束系统在直接等距变换群下具有不变性。然而，本文将探讨在直接相似变换群下的几何约束问题，并提出一种解决涉及三点角度约束问题的方法。

1. 引言

CAD 中解决几何约束问题的目标是得到满足某些度量要求的图形，通常以图形形式指定。结果往往是一个 ε - 近似的数值解，可以使用如牛顿 - 拉夫森法或连续法等迭代数值方法来解决。但出于稳定性和完整性等原因，有时更倾向于使用构造性方法。在构造性方法中，数值被抽象化，并记录构造过程的历史。具体来说，将带尺寸的草图转换为文字符号语句，分两步求解：第一步进行符号解析，得到一个构造程序（或构造计划），即一系列为产生解而需执行的基本操作；第二步通过对构造计划的数值解释得到图形。

CAD 约束系统的一个特点是其在直接等距变换群（也称为直接欧几里得群）下的不变性。一些研究人员利用这一性质，在可能的情况下将几何约束系统分解为更小的系统。这些方法的基本概念包括参考、边界和组装过程。一个几何类型是直接欧几里得群的参考类型，当且仅当它对该类型的对象进行简单传递作用。约束系统中已解决子系统的边界由从已解决对象中可推导的所有度量信息组成。当两个子系统局部求解时，如果它们共享的未知量确定的信息多于一个参考，就可以将两个解组装起来。

本文将展示如何将这个框架扩展到相似群。这种方法有助于解决二维几何构造中的难题。例如，某些草图不能用现有的方法进行构造性求解，但释放距离约束后，问题在相似群下具有不变性，从而可以构造性求解，再通过适当的相似变换找到原草图的所有解。

2. 基本定义和示例

设