【C++】排列与组合算法详解（进阶篇）

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星河依旧长明

已于 2023-11-13 18:28:02 修改

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分类专栏：笔记文章标签： c++ lucas定理费马小定理逆元递推

于 2023-05-20 20:06:19 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/xingchen_2008/article/details/130782915

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本文介绍了几种优化的组合与排列计算算法，包括朴素算法、递推预处理、使用阶乘逆元以及应用Lucas定理的方法。每种算法的时间复杂度不同，适用于不同规模的数据，如递推预处理适用于中小规模数据，而Lucas定理能处理大规模数据。文章鼓励读者尝试优化预处理阶乘逆元的算法。

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写在前面

我上次发了一篇题解：C++排列与组合算法详解
最开始，我是抱着水题解的想法写的，但却成为了阅读量最高的文章，没有之一。

所以今天咱们来重制一篇文章，介绍几个进阶优化版的算法。

算法1：朴素算法

思路

具体见 C++排列与组合算法详解

缺点

不能将结果取模，因为朴素的组合公式在取模意义下没用。

算法2：递推预处理

思路

我们发现：
$C_a^0 = 1\\ C_a^b=C_{a-1}^b+C_{a-1}^{b-1}(a,b>0)$

所以我们可以写一个递推函数（部分非主要内容已省略）：

void init_C()
{
   
    for (int i = 0; i < N; i ++ ) // N 表示预处理最大的下标
        for (int j = 0; j <= i; j ++ )
            if (!j) c[i][j] = 1;
            else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % P;
}

再预处理阶乘：

void f(int n)
{
   
    f[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        f[i] = (LL)f[i - 1] * i % P;
}

需要排列的话还可以预处理排列：

void init_A(int n)
{
   
    for (int i = 0; i <= n; i ++ )
        for (int j = 0; j <= i; j ++ )
            a[i][j] = (LL)f[i - j] * c

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