P3374 【模板】树状数组 1

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原创 2024-08-11 22:25:16 805 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

洛谷P3374 【模板】树状数组 1 核心思路：用树状数组的分层辅助数组 c[] 替代原数组，通过lowbit实现高效的单点更新（O(logn)）和前缀和查询（O(logn)），区间查询则转化为两个前缀和的差。关键细节树状数组下标必须从 1 开始（避免导致死循环）；单点更新是累加增量），而非直接赋值；区间查询的本质是前缀和的差，这是所有区间和问题的通用技巧。适用场景：只要问题是 “单点更新 + 区间查询”（或 “区间更新 + 单点查询”，树状数组也可适配），且数据量较大，优先选择树状数组（比线段树代码更简洁、常数更小）。阅读详情

刚学完树状数组，为了防止自己忘了，写个博客记录下

树状数组的单点修改和区间查询的时间复杂度均为 O(log n)

一.前置知识 lowbit()运算

lowbit（）运算是某个数的二进制表示最低为1 的位和它后面的0构成的数值

例如

$lowbit((44)_{10}) = lowbit((101 100)_{2}) =(100_{2}) =(4)_{10}$

得出的过程如下

先按位取反 ~ 再＋1

$(101100)_{2}\rightarrow (010011)_{2}\rightarrow (010100)_{2}$

得到的数再进行按位与 & 操作

$101100$ & $010100$ = $(100)_{2}$ = $(4)_{2}$

由于计算机存储时候用的是补码，所以取反（~）再加一（++）后的数实际就是这个数的倒数本身

所以lowbit(n) = n & (~n+1) = n & (-n)

int lowbit(int k){
	return k & -k;
}

二.树状数组的思想

1.理解

例给出一个长度为n的数组，进行以下两种操作

$\bullet$ 第x个数加上k

$\bullet$ 输出区间[ x , y ]内每个数的和

$\Rightarrow$ 用前缀和 $\Rightarrow$ 树状数组维护（ $\log_{}n$ ）

建立如图所示的t[x]保存以x为根的子树中叶节点的值的和

每个节点覆盖的长度与t[x]中x有关即len = lowbit(x)

继续观察 t[x]的父节点为t[x+lowbit(x)] 且整棵树的深度为 $\log n+1$

$t[x] = \sum_{i =x-lowbit(x)+1}^{x}a[i]$

2.add(x,k)操作

在a的第x个数加k

例如，要给a[3]加k，与之有关联的是t[3],t[4],t[8] 即 $t[x]\rightarrow t[x+lowbit(x)]\rightarrow t[x+lowbit(x+lowbit(x))]\rightarrow$ $\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$

$t[3]\rightarrow t[3+1]\rightarrow t[3+1+4]\rightarrow \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$

所以t[3] t[4] t[8]依次加k

void add(int x,int k){
	while(x<=n){
		t[x]+=k;
		x+=lowbit(x);
	}
}

3.ask(x)操作

即找x对应的点的前缀和

需要找每个点和它左上角的点依次加和

例如找 ask(7)需要 t[7] t[6] t[4] 加和

$t[x]+t[x-lowbit(x)]+t[x-(x-lowbit(x))]\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$

$t[7]+t[7-1]+t[7-1-4]\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$

int ask(int x){
	int ans = 0;
	while(x!=0){
		ans+=t[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return ans;
}

这个是求前缀和的操作，如果要求区间和，可以求出前缀和再相减

(以上为单点增加范围查询，对应的题目如下）

【模板】树状数组 1 - 洛谷https://www.luogu.com.cn/problem/P3374

//P3374 【模板】树状数组 1
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Maxn = 50;
int n,m;
int tree[Maxn+5];
int lowbit(int k){
	return k & -k;
}
void add(int x,int k){
	while(x<=n){
		tree[x]+=k;
		x+=lowbit(x);
	}
}
int sum(int x){
	int ans1 = 0;
	while(x!=0){
		ans1+=tree[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return ans1;
}

int main(){
	cin>>n>>m;//数字个数 操作次数
	//从a[1]开始输入
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int a;
		cin>>a;
		add(i,a);
	}
	//构造树状数组
	
	int choose,x,y;
	for(int i=0;i<m;i++){
		cin>>choose>>x>>y;
		if(choose==1){
			add(x,y);
		}else if(choose==2){
			cout<<sum(y)-sum(x-1)<<endl;
		}
	}
	
	return 0;
}

三.树状数组的扩展及应用

树状数组 $\Rightarrow$ 动态维护前缀和 $\Rightarrow$ 工具 $\Rightarrow$ 灵活应用

$\bullet$ 区间修改单点查询 $\bullet$

$\bullet$ 区间修改区间查询 $\bullet$ 都可以做

(1)区间修改

在[l,r]+d 这个区间内加d

需要用到差分的思想

（ $diff[i]=nums[i]-nums[i-1]\Rightarrow nums[i]=diff[i]+nums[i-1]$ )

还可以表示为 $num[i]=\sum_{1}^{i}diff[i]$ ,即num[i]的值可以理解为diff[i]从开始加到第i个值的和

所以对于某个区间内的元素修改，只需要修改两个差分数组的点即可

所以要对树状数组进行操作 $add(l,d)\, \, \, \, \,add(r+1,-d)$

从第 $l$ 个到最后每个加 $d$ ,在加完之后再从第 $r+1$ 个每个向后减 $d$

便相当于从第 $l$ 到第 $r$ 个每个加 $d$

(2)单点查询

然后再按照差分数组的定义进行求

P3368 【模板】树状数组 2 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)https://www.luogu.com.cn/problem/P3368

区间修改/单点查询对应的题目练习

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;

ll n, q, mod, x, y, s, inn[500001], tree[500001];

ll lowbit(ll num) {
    return num & -num; // 返回值为二进制下num从左往右第一个1的位置
}

void add(ll s, ll num) {
    for(ll i = s; i <= n; i += lowbit(i)) tree[i] += num; // 差分的思想
}

ll ask(ll s) {
    ll ans = 0;
    for(ll i = s; i >= 1; i -= lowbit(i)) ans += tree[i]; // 寻找差分的标记
    return ans;
}

int main() {
    cin >> n >> q;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> inn[i];
    for(int i = 1; i <= q; i++) {
        cin >> mod; // 输入1或2
        if(mod == 1) {
            cin >> x >> y >> s;
            add(x, s);
            add(y + 1, -s);
        }
        if(mod == 2) {
            cin >> x;
            cout << inn[x] + ask(x) << endl; // 区间查询则为右边界前缀和减去左边界前缀和
        }
    }
    return 0;
}