博弈论之正反Nim博弈

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原创 2025-05-30 11:37:38 1.1k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

硬币谜题游戏开发全解析：从算法到工程实践状态空间搜索是计算机科学中解决组合优化问题的核心方法，其原理是通过系统性地探索所有可能的状态转移来寻找最优解或可行解。在博弈论和人工智能领域，这一技术被广泛应用于求解确定性游戏的最优策略，其技术价值在于能够为规则明确的决策问题提供理论上的必胜解法。典型的应用场景包括棋类游戏AI、自动化谜题求解以及决策优化模拟器等。本文以经典的硬币翻转谜题为具体案例，深入剖析了如何将游戏规则抽象为数学模型，并利用极小化极大算法和动态规划技术实现必胜策略求解。文章详细探讨了状态压缩、Alpha-Beta剪枝等性能优化手段，并介阅读详情

Nim 博弈

正向博弈

P2197 【模板】Nim 游戏 - 洛谷
玩家轮流从若干堆物品中的某一堆物品取若干数量物，最终取完者为胜

结论：有 n 堆物品，数量分别为 $a_{1},a_{2},a_{3}...a_{n}$

若： $a_{1}⊕a_{2}⊕a_{3}⊕...⊕a_{n}==0$ 则后手赢
若： $a_{1}⊕a_{2}⊕a_{3}⊕...⊕a_{n} ~!=~0$ 则先手赢
证明：
首先，胜者的最终状态肯定是 $0 \oplus 0 \oplus . . . \oplus 0$
然后有两条：
总异或和为 0 的可以经过一步骤到–>总异或和不为 0 …①
总异或和不为 0 的可以经过一步骤到–>总异或和为 0 …②

^和 == 0 $\xleftrightarrow{\text{~~~经过一步拿取}}$ ^和 != 0（也就是说每一堆物品数的异或和是由 0
非 0 之间相互转换的）

所以肯定是先碰上异或和为 0 的状态的那个人在经过堆物品数的异或和由 0 与非 0 相互转换的操作后优先碰上胜者的胜利状态（也就是都取完的全 0 状态）

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false); // 关闭同步，提高输入输出效率
    cin.tie(nullptr);            // 解绑 cin 与 cout

    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        int n;
        cin >> n;
        int eor = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            int x;
            cin >> x;
            eor ^= x;
        }
        if (eor != 0) {
            cout << "Yes\n";
        } else {
            cout << "No\n";
        }
    }

    return 0;
}

反向博弈

P4279 [SHOI2008] 小约翰的游戏 - 洛谷

玩家轮流从若干堆物品中的某一堆物品取若干数量物，最后取物品者输

从以下三种情况考虑

每一堆的物品数都是 1（先手根据物品堆数是奇数还是偶数，判断自己的输赢）
只有一堆大于 1，其他堆都是 1（此时先手可以根据物品数等于 1 的堆数来安排自己的后续操作来保证自己赢，也就是说此时的先手是稳赢的）
例如此时情况为：
<1> 1 1 1 5，先手拿 5 个成了 1 1 1（回到了第一种情况可以判断自己的输赢，此时先手必赢）
<2> 1 1 5, 先手拿 4 个成了 1 1 1（同上，先手赢）
若干堆大于 1 ，若干堆等于 1 （这种状态下，经过一系列的操作，肯定可以得到第二种状态的 只有一堆大于 1 ，其余全是 1(其中第二种状态的这种情况的总异或和不为0)，加上正向 Nim 博弈的①和②的结论=>异或和在非 0 和 0 之间循环转换，就可以根据此时的 若干堆大于 1 ，若干堆等于 1 状态的异或和来判断谁先来到 只有一堆大于 1，其他堆都是 1 的必赢状态，则谁就赢）
其中判断方法就是：
<1> 若先手此时处于 若干堆大于 1 ，若干堆等于 1 的状态且堆数的异或和为 0，则经过异或和的 0 与非 0 的循环转换，每次轮到他时此时的堆的状态都是异或和为 0，则后手则每次轮到他时的堆的状态都是异或和非 0 。因为必赢状态（只有一堆大于 1，其他堆都是 1）的异或和为非 0。故最后肯定是后手达到这种必赢状态，那么也就是后手赢
<2>反之亦然

综上，该题的思路是：
<1>如果物品堆数的初始状态是 每一堆物品都是0，则先手根据物品堆数的奇偶性判断输赢
<2>如果物品堆数的初始状态是 只有一堆大于 1，其他堆都是 1，这种情况是必赢状态，因为此时先手可以根据物品数为 0 的堆的个数灵活拿取，来构造可以使得自己赢的情况
<3>如果物品堆数的初始状态是 若干堆大于 1 ，若干堆等于 1 ，这种情况最常见。先手可以根据此时的堆物品数的异或和以及最优解是堆物品数的异或和在 0 与非 0 之间相互转换的规律来判断是自己先达到 只有一堆大于 1，其他堆都是 1 的必赢状态还是对手先达到 只有一堆大于 1，其他堆都是 1 的必赢状态来判断自己的输赢

#include <iostream>
using namespace std;

const int MAXN = 51;
int stones[MAXN];

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int t, n;
    cin >> t;

    while (t--) {
        cin >> n;
        int eor = 0;     // 异或和：用于判断当前局势对先手是否有利
        int ones = 0;    // 统计物品数为 1 的堆数

        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            cin >> stones[i];
            eor ^= stones[i];
            if (stones[i] == 1) {
                ones++;  // 记录物品数为 1 的堆
            }
        }

        // 情况一：每一堆物品数都是 1
        // 分析：此时的胜负只与堆数的奇偶性有关
        //      - 如果堆数是奇数，先手最后必然面对一个堆 -> 输（Brother 赢）
        //      - 如果堆数是偶数，先手可对称操作 -> 赢（John 赢）
        if (ones == n) {
            cout << ((n % 2 == 1) ? "Brother" : "John") << '\n';
        }

        // 情况二 + 情况三：存在一堆或多堆物品数大于 1
        else {
            // 情况二：只有一堆物品数大于 1，其余全是 1
            // 说明：这是先手必胜的情况，先手可以操作该堆变成情况一中的奇偶局面，使自己最终胜出

            // 情况三：若干堆 >1，若干堆 =1
            // 思路：经过博弈后必然转化为情况二，谁能将游戏引导到情况二中的非 0 异或状态，谁就能赢
            // 判定：如果异或和 ≠ 0，说明当前是先手可控状态 -> John 赢
            //       如果异或和 = 0，说明后手将控制游戏走向必胜态 -> Brother 赢
            cout << ((eor != 0) ? "John" : "Brother") << '\n';
        }
    }

    return 0;
}