弗罗贝尼乌斯范数

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本文详细介绍了弗罗贝尼乌斯范数（Frobenius norm），这是一种特殊的矩阵范数，与希尔伯特-施密特范数等价。文中解释了该范数的不同定义方式，并强调了其在数值线性代数中的重要作用，以及相较于诱导范数的计算优势。
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弗罗贝尼乌斯范数

对 p = 2，这称为弗罗贝尼乌斯范数（Frobenius norm）或希尔伯特-施密特范数（ Hilbert–Schmidt norm），不过后面这个术语通常只用于希尔伯特空间。这个范数可用不同的方式定义：

\|A\|_F=\sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2}=\sqrt{\operatorname{trace}(A^{​{}^*} A)}=\sqrt{\sum_{i=1}^{\min\{m,\,n\}} \sigma_{i}^2}

这里 A* 表示 A 的共轭转置，σi 是 A 的奇异值，并使用了迹函数。弗罗贝尼乌斯范数与 Kn 上欧几里得范数非常类似，来自所有矩阵的空间上一个内积。

弗罗贝尼乌斯范范数是服从乘法的且在数值线性代数中非常有用。这个范数通常比诱导范数容易计算。

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