Manacher马拉车

Manacher

Manacher算法是一种用于查找字符串中最长回文子串的线性时间复杂度算法。

算法原理

Manacher算法的核心思想是利用回文串的对称性来避免重复计算。它通过维护一个"最右回文边界"和对应的中心点，来高效地扩展回文半径。

算法步骤

1. 预处理扩展字符串

为了转化偶数长度的回文串为奇数长度的回文串，我们在字符串中的每个字符中间插入一个不会有的字符（如‘|’‘&’），然后再在字符串前插入一个奇奇怪怪没有用过的字符。

代码如下：

//读入原字符串str
data[0]='~',data[1]='|';
for(int i=0; i<str.size(); i++)
{
    data[++cnt]=str[i],data[++cnt]='|';
}
//data即为扩展字符串

2. 线性处理回文半径

记一个最右的回文串右端点 $r$ 即其对应的回文中心 $c$，然后分四种情况处理（为方便表示，记以 $c$ 为回文中心的回文串为 $st{r}_c$）:

1. 若当前 $t$ 超过了 $1$ 到 $i-1$ 最大的回文串的范围，则暴力扩展求 $P_t$；
2. 若没超过，且 $t$ 的关于 $c$ 的对称点 $2c-t$ 所对应的回文串 $st{r}_{2\times c-t}$ 包含在 $st{r}_c$ 内，则直接令 $P_t=P_{2\times c-t}$；
3. 若 $t$ 的对应点所对应的回文串部分超出 $st{r}_c$，则令 $P_t=r-t+1$；
4. 若 $st{r}_{2\times c-t}$ 压在 $st{r}_c$ 的边界上，则让 $P_t=2\times c-t$ 后暴力继续扩展

为了方便，在具体实现中，我把四种情况并起来写。

代码如下：

for(long long t=1,r=0,mid=0; t<=cnt; t++)
{
    if(t<=r) p[t]=min(p[(mid<<1)-t],r-t+1);
    while(data[t-p[t]]==data[t+p[t]]) ++p[t];
    if(p[t]+t>r) r=p[t]+t-1,mid=t;
}

3.映射关系

找规律发现，$P_t-1$ 即为以 $t$ 为回文中心的最长回文串的长度（注意 $P_t$ 映射的是扩展串的第 $t$ 位）

模板题代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long maxn=11000005;
char data[maxn<<1];
long long p[maxn<<1],cnt=1,ans;
string str;
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>str;
    data[0]='~',data[1]='|';
    for(int i=0; i<str.size(); i++)
    {
    	data[++cnt]=str[i],data[++cnt]='|';
	}
    for(long long t=1,r=0,mid=0; t<=cnt; t++)
    {
        if(t<=r) p[t]=min(p[(mid<<1)-t],r-t+1);
        while(data[t-p[t]]==data[t+p[t]]) ++p[t];
        if(p[t]+t>r) r=p[t]+t-1,mid=t;
        if(p[t]>ans) ans=p[t];
    }
    cout<<ans-1;
	
	return 0;
}

复杂度证明

或许某些大佬看到上面的代码后会想到 $O(n)$ 和 $O(n^2)$ 的均摊，但是实际上不是的：$r$ 是一直向右运行的，而 $r$ 最多能够运行到 $n$，所以整体的时间复杂度应为 $O(n)$.

注：本文为编者手搓，如有笔误敬请指出。