中国剩余定理

公式

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用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：

有解的判定条件，并用 构造法给出了在有解情况下解的具体形式。

中国剩余定理说明：假设 整数 m 1, m 2, ... , m n 两两互质，则对任意的整数： a 1, a 2, ... , a n，方程组

   

有解，并且通解可以用如下方式构造得到：

设

   

是整数 m 1, m 2, ... , m n的乘积，并设

   

是除了 m i以外的 n- 1个整数的乘积。

设

   

为

   

模

   

的数论倒数(

   

为

   

模

   

意义下的逆元)

 

方程组

   

的通解形式为

 

在模

   

的意义下，方程组

   

只有一个解：

 

证明 [1]   ：

从假设可知，对任何

   

，由于

   

，所以

   

这说明存在整数

   

使得

   

这样的

   

叫做

   

模

   

的数论倒数。考察乘积

   

可知：

所以

   

满足：

 

这说明

   

就是方程组

   

的一个解。

另外，假设

   

和

   

都是方程组

   

的解，那么：

而

   

两两互质，这说明

   

整除

   

. 所以方程组

   

的任何两个解之间必然相差

   

的整数倍。而另一方面，

   

是一个解，同时所有形式为：

 

的整数也是方程组

   

的解。所以方程组所有的解的集合就是：