POJ 2773 HAPPY 2006

题目大意

给出m,k(m≤10^6,k≤10^8)，要你求出与m互质的第k个自然数。

解题思路

这个题目的想法是我自己想的，证明过程是找的网上的blog的。

一开始我有个想法，是不是把gcd(m,ai) = 1(ai<m)全部筛出来后，gcd(m,ai+m)是否也为1？答案是肯定的。同时，容易推出gcd(m,k*m+ai) = 1。

但是现在我只证明出gcd(m,ai+m)=1，是否存在（0，m）其他的数x使得x≠ai，且gcd(m,x+m)=1？答案是否定的，因为gcd(m,a)=1(a>m)可推出gcd(m,a-m)=1。可以看出，gcd(m,x)=1，明显与我的假设矛盾。

这说明了，(0,m)中的与m互质的数是与(k*m,k*m+m)中与m互质的数一一对应的。

易得答案ans=a[k % cnt] + (k-1) / cnt * m

本题找互质的数可以不用gcd，gcd速度有点慢。。。。

这道题用预处理比不用于处理还慢得多。。。还有取模运算确实比较消耗时间，这是我无脑找代码提交之后的心得

Code

#include <iostream>
#include <string>

using namespace std;

int phi[1000001], pos[100000];

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	int m, k;
	while (cin >> m >> k)
	{
		int cnt = 0, n = m;
		memset(phi, 0, sizeof(phi));
		for (int i = 2; i * i <= m; i++)
		{
			if (n % i == 0)
			{
				for (int j = 1; j * i <= m; j++) phi[j * i] = 1;
				while (n % i == 0) n /= i;
			}
		}
		if (n > 1)
			for (int j = 1; j * n <= m; j++) phi[j * n] = 1;
		for (int i = 1; i <= m; i++) if (phi[i] == 0) pos[++cnt] = i;
		pos[0] = pos[cnt];
		cout << pos[k % cnt] + (k - 1) / cnt * m << endl;
	}
}