蒙特卡洛方法来计算圆周率pi的近似值

蒙特卡洛算法是一种通过随机抽样来近似求解问题的方法。在计算圆周率pi的近似值时，可以使用蒙特卡洛算法来实现。（见下图）

• 如上图所示，我们可以在一个正方形内生成大量的随机点，然后统计这些点中有多少个落在了正方形的内切圆内。根据概率论，当这些随机点分布越均匀，点落在圆内的比例应该越接近内切圆面积与正方形面积的比值。由于内切圆的面积为pi*(r^2)，正方形的面积为(2*r)^2 = 4*(r^2)，所以圆的面积与正方形面积的比值为pi/4。因此，我们可以根据随机点中落在圆内的比例来计算pi的近似值：pi = 4 * (圆内点数 / 总点数)。

• 蒙特卡洛算法虽然原理简单，但是精度并不高，需要生成大量的随机点才能得到更为精确的近似值pi。同时，由于每个随机点之间的计算相互独立，通信很少，因此具有天然的优良并行性，特别适合利用MPI并行计算这些大量的随机点，从加速程序速率。

程序应该包括以下步骤：

1. 用户在主进程中指定参数N，即随机点总个数。使用MPI_Bcast将N广播到所有进程。

2. 每个进程生成N/np个随机点，其中np为进程数。随机点坐标x、y应在单位圆的外接正方形中，即x、y坐标均应在区间[-1,1]内。

3. 对于每个随机点，判断它是否在单位圆内（即x^2 + y^2 <= 1）。

4. 使用MPI_Reduce函数将所有进程中单位圆内点的数量规约累加到主进程中。

5. 主进程根据累加结果计算pi的近似值：pi = 4 * (单位圆内点数 / 总点数)。

6. 主进程打印出pi的近似值。

注意：

1、因为需要大量随机点，所有与随机点数相关的变量需声明为长整型long long int

2、蒙特卡洛法要取得良好的效果，关键在于生成高质量的随机数。比如在求取pi的案例中，随机点的分布需要尽量均匀且不重复。那么在MPI并行程序中，随机数的并行生成，则需要各个进程提供各不相同的随机数种子。利用当前时间和进程编号作为随机种子是一种常见方法，相应随机数生成器初始化的C代码为：

srand(time(NULL) + rank)

其中，srand函数为C语言自带的伪随机数发生器（RNG）的种子设置函数，time(NULL)获取当前时间，rank为进程编号

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <math.h>
#include "mpi.h"

int main(int argc, char** argv) {
    int rank, np, i, count = 0, total_count, N;
    double x, y, pi, start_time, end_time;
    MPI_Status status;

    MPI_Init(&argc, &argv);
    MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD, &rank);
    MPI_Comm_size(MPI_COMM_WORLD, &np);

    if (rank == 0) {
        printf("请输入随机点总个数N：\n");
        scanf("%d", &N);
    }

    // 广播随机点总个数N
    MPI_Bcast(&N, 1, MPI_INT, 0, MPI_COMM_WORLD);

    // 每个进程生成N/np个随机点，并统计单位圆内的点的个数
    srand(time(NULL) + rank);
    for (i = 0; i < N / np; i++) {
        x = (double)rand() / RAND_MAX * 2 - 1;
        y = (double)rand() / RAND_MAX * 2 - 1;
        if (x * x + y * y <= 1) {
            count++;
        }
    }

    // 各进程中的单位圆内点数求和
    MPI_Reduce(&count, &total_count, 1, MPI_INT, MPI_SUM, 0, MPI_COMM_WORLD);

    if (rank == 0) {
        // 计算pi的近似值
        pi = 4.0 * total_count / N;
        printf("用 %d 个随机点计算得到的pi近似值为：%f\n", N, pi);
    }

    MPI_Finalize();
    return 0;
}

mpicc -o MonteCarlomethod MonteCarlomethod.c
 yhrun -n 4 -p thcp1 MonteCarlomethod