邮票问题---动态规划

已知一个 N 枚邮票的面值集合（如，{1 分，3 分}）和一个上限 K —— 表示信封上能够贴 K 张邮票。计算从 1 到 M 的最大连续可贴出的邮资。
例如，假设有 1 分和 3 分的邮票；你最多可以贴 5 张邮票。很容易贴出 1 到 5 分的邮资（用 1 分邮票贴就行了），接下来的邮资也不难： 

6 = 3 + 3 
7 = 3 + 3 + 1 
8 = 3 + 3 + 1 + 1 
9 = 3 + 3 + 3 
10 = 3 + 3 + 3 + 1 
11 = 3 + 3 + 3 + 1 + 1 
12 = 3 + 3 + 3 + 3 
13 = 3 + 3 + 3 + 3 + 1

然而，使用 5 枚 1 分或者 3 分的邮票根本不可能贴出 14 分的邮资。因此，对于这两种邮票的集合和上限 K=5，答案是 M=13。

输入：

第 1 行： 两个整数，K 和 N。K（1 <= K <= 200）是可用的邮票总数。N（1 <= N <= 50）是邮票面值的数量。 
第 2 行至末尾： N 个整数，每行 15 个，列出所有的 N 个邮票的面值，面值不超过 10000。

输出：

一个整数，从 1 分开始连续的可用集合中不多于 K 张邮票贴出的邮资数。

样例输入：

5 2

1 3

样例输出：

13

分析：

1.数据分析：每个信封最多贴K(K<=200)张邮票，每张邮票的面值不超过10000，能贴出最大的邮资不超过2000000，可用一个数组来表示能够表示贴出每种邮资。

2.算法分析：

(1)搜索：每种邮票最多贴200张，总共50种，朴素的深搜规模将达到50^200。

(2)动态规划：

        <1>阶段：能够构成每个面值为阶段。比如能构成的面值为1到V，那么总共为V个阶段。

        <2>状态：dp[i]表示构成面值i所需要的最少邮票数.

        <3>决策：对于样例数据1和3两种面值的邮票：

                    构成邮资0：所需要邮票张数为0张，dp[0]=0;

                    构成邮资1：只能用1分的邮票，所需要邮票张数1张，dp[1]=1;

                    构成邮资2：只能用1分的邮票，所需要邮票张数2张，dp[2]=2;

                    构成邮资3：

                             *1.若选择使用一张1分的邮票，dp[3]=dp[2]+1=3………dp[3-1]+1

                             *2.若选择使用一张3分的邮票，dp[3]=dp[0]+1=1………dp[3-3]+1

                                       dp[3]=min{dp[2]+1,dp[0]+1}=1;

                     构成邮资4：

                             *1.若选择使用一张1分的邮票，dp[4]=dp[3]+1=2………dp[4-1]+1

                             *2.若选择使用一张3分的邮票，dp[4]=dp[1]+1=2………dp[4-3]+1

                                       dp[4]=min{dp[3]+1,dp[1]+1}=2;

        <4>状态转移方程：dp[i]=min{dp[i-a[j]]+1}    i>=a[j]  1<=j<=n    f[i]<=k;

#include <iostream>  
#include <algorithm>  
  
using namespace std;  
  
int Answer;  
int dp[2000001];  
  
int main(int argc, char** argv)  
{  
    int T, test_case;  
    
   
    cin >> T;  
    for (test_case = 0; test_case < T; test_case++)  
    {  
  
        Answer = 0;  
        int K = 0;  
        int N = 0;  
  
        cin >> K >> N;  
        int *a = new int[N+1];  
        for (int i = 0; i < N; i++)  
        {  
            cin >> a[i];  
        }  
  
        sort(a, (a + N));  
        dp[0] = 0;  
  
        while (dp[Answer] <= K)  
        {  
            Answer++;  
            dp[Answer] = 999999;  
            for (int j = 0; j < N && a[j] <= Answer; j++)  
            {  
                if (dp[Answer - a[j]] + 1 < dp[Answer])  
                    dp[Answer] = dp[Answer - a[j]] + 1;  
            }  
        }  
        cout << "Case #" << test_case + 1 << endl;  
        cout << Answer << endl;  
        delete[]a;  
    }  
  
    return 0;
}  

原作者写的内容有错误，解释的地方发生错误很难看得懂，所以纠正了一下。文章最下面是作者的原文链接；

转自 【算法】【动态规划】 邮票问题