动态规划—完全背包

完全背包就是不限物品个数，相当于有无限个；举个栗子

有N种物品和一个容量为m的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

核心代码：

dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i]);0<=k*c[i]<=v

模板：

#include<bits/stdc++.h>  
using namespace std;   
const int maxn=555;  
int dp[maxn][111111];  
int c[maxn],w[maxn];  
int n,v;  
int main()  
{  
    int i,j,k;  
    while(~scanf("%d %d",&n,&v))  
    {  
        memset(dp,0,sizeof(dp));  
        for(i=1;i<=n;i++)  
            scanf("%d %d",&c[i],&w[i]);   
        for(i=1;i<=n;i++)  
        {  
            for(j=0;j<=v;j++)  
            {  
                for(k=0;k*c[i]<=j;k++)      
                    dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i]);  
            }  
        }  
        printf("%d\n",dp[n][m]);  
    }  
    return 0;  
}  

转化为01背包问题求解

既然01背包问题是最基本的背包问题，那么我们可以考虑把完全背包问题转化为01背包问题来解。最简单的想法是，考虑到第i种物品最多选V/c[i]件，于是可以把第i种物品转化为V/c[i]件费用及价值均不变的物品，然后求解这个01背包问题。这样完全没有改进基本 思路的时间复杂度，但这毕竟给了我们将完全背包问题转化为01背包问题的思路：将一种物品拆成多件物品。

更高效的转化方法是：把第i种物品拆成费用为c[i]*2^k、价值为w[i]*2^k的若干件物品，其中k满足c[i]*2^k<=V。这是二进制的思想，因为不管最优策略选几件第i种物品，总可以表示成若干个2^k件物品的和。这样把每种物品拆成O(log V/c[i])件物品，是一个很大的改进。

但我们有更优的O(VN)的算法。

O(VN)的算法

这个算法使用一维数组，先看伪代码：

for i=1..N
    for v=0..V
        f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight

就是

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i][v-c[i]]+w[i]}的变形

 
        memset(dp,0,sizeof(dp));
	for(i=1;i<=m;i++)
	for(j=c[i];j<=v;j++){//当(j=0；j<=v;j++)时下面要加if条件
	                    //if(j>=c[i])
	dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]]+w[i]);
	}

看个例题：nyoj 311完全背包

初始化的细节问题

求最优解的背包问题时，有两种问法：

1)在不超过背包容量的情况下，最多能获得多少价值

2)在恰好装满背包的情况下，最多能获得多少价值

主要的区别为是否要求恰好装满背包。但这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。

1)恰好装满背包的情况：使用二维数组f[i][v]存储中间状态，其中第一维表示物品，第二维表示背包容量

初始化时，除了f[i][0] = 0（第一列）外，其他全为负无穷。

原因：初始化 f 数组就是表示：在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。对于恰好装满背包，只有背包容量为 0（第一列），可以什么物品都不装就能装满，这种情况是合法情况，此时价值为0。其他f[0][v]（第一列）是都不能装满的，此时有容量没物品。而其他位置（除去第一行和第一列的位置），我们为了在计算中比较最大值，也要初始化为负无穷。我们从程序的角度上看，我们只允许装入背包物品的序列的起始位置是从第一列开始，这些起始位置都是合法位置，且能恰好装满的情况收益均为正值，到f[N][V]终止。

注意，我们虽然是求恰好装满，还是需要枚举所有可以装入背包的物品，只要能装入，还需装入，收益有增加。只不过，由于恰好装满的物品的序列肯定是从第一列某行开始的，且之后的收益肯定是正值。对于非恰好装满的物品序列，其实位置肯定是从第一行某位置开始的，由于此时被初始化为负无穷，在和那些恰好装满物品序列带来的价值时，肯定是小的。所以，我们最后能获得最大值。