抽象代数入门（四）

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本文探讨了向量空间的基础定义，包括其在向量加法和标量乘法下的封闭性，以及满足的各类代数定律。进一步介绍了循环子空间的概念，它是通过线性变换作用于有限维向量空间而产生的，并详细解析了A-invariant子空间的性质，以及其与特征向量的关系。

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向量空间(vector space)

Definition of vector space: a vector space is a set closed under vector additon and scalar multiplication.

满足加法交换律、结合律、分配律，存在加法单位元
满足标量乘法的交换律、结合律、分配律，存在乘法单位元

Cyclic Subspace(循环子空间)

Dfn: 循环子空间是通过有限维的向量空间和一个线性变换构成的。

A cyclic subspace of $\mathbb{F}[x]$ can be defined as:

$\mathbf{A}\in\mathbb{R}^{n\times n}, v\in\mathbb{F}^n, \mathbb{F}[x]v = \left\{p(\mathbf{A})v|\forall p\in \mathbb{F}[x] \right\}$ ,

$p(\mathbf{A})v = a_0v + a_1\mathbf{A}v + a_2\mathbf{A}^2v + ...+ a_m\mathbf{A}^mv$ . $\mathbb{F}[x]v$ is A-invariant subspace of $\mathbb{F}^m$ .

~~prf: $V=\mathbb{F}[x]v\subset \mathbb{F}^n$ , V is A-invariant, $u\in V\Rightarrow u=pv$ . Au=A(pv)~~

Rem:

A 的特征向量同以为的A-invariant 子空间一一对应。
If v is an eigenvector of A, $\mathbb{F}[x]v$ = Span(v).

Definition: $T=ann(\mathbb{F}^n)$ . we all know that every ideal of $\mathbb{F}[x]$ is principal. i.e. it can be generated by one element.

$\begin{center}T=ann(\mathbb{F}^n)=(m_A) \end{center}$ , $m_A$ is the monoic, smallest degree s.t. $m_A(A)=0$ . () 表示这个多项式生成的向量空间。

注意: $T=ann(\mathbb{F}^n)=\left\{q\in\mathbb{F}[x]|qv=0,\forall v\in\mathbb{F}^n \right\}$

A-invariant

Definition: $A\in\mathbb{R}^{n\times n}, A: \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n.$ $S$ is a subspace of $\mathbb{R}^n$ .We say "S" is A-invariant if $A(S)\subset S$ . i.e. $\forall s\in S, As\in S$ .