牛顿迭代法

创新工厂的笔试题：

不用库函数sqrt()，求一个整型数N的开方，要求精度达到0.001即可。

在这里首先介绍一下牛顿迭代法：

假设一个方程为

f(x) = 0;

那么假设其解为x0，则用泰勒级数展开之后可得：

f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) = 0

其中x为其近似解。

根据上式推导出：

x = x0 - f(x0) / f'(x0)

这是一个递推公式，此处可以假设x0为近似解，递推无数次之后，都可以得到近似于正确解的值x

现在来看这道笔试题：

f(x) = x * x - N

我们可以假设一个近似解d = 1.0，根据牛顿迭代法，递推无数次之后可以得到精确的近似解。

因此：

x = d - f(d) / f'(d)

   = d - (d * d - N) / (2d)

   = (d + N / d) / 2

将上式用函数迭代至精度满足要求即可。

最终函数相当简单：

double SQRT(unsigned int N) {
	double d = 1.0;
	while (abs(d * d - N) > 1e-9) {
		d = (d + N / d) / 2;
	}
	return d;
}