26、统计学中的常用分布表与分析方法

统计学中的常用分布表与分析方法

1. 正态分布表

正态分布在统计学中是非常基础且重要的分布。正态分布表提供了标准正态分布下，对于 (x > 0) 时，(x) 左侧的面积。这个面积在很多统计分析中都有重要的应用，比如在计算概率、进行假设检验等方面。

1.1 正态分布表的结构

正态分布表（表A.1）是按照 (x) 的值进行排列的，(x) 的取值精确到小数点后两位。表的列标题是 (x) 的小数部分（从 (0.00) 到 (0.09)），行标题是 (x) 的整数部分和小数点后第一位（从 (0.0) 到 (3.0)）。通过查找对应的行和列，就可以得到 (x) 左侧的面积。

1.2 正态分布表示例

(x)	(0.00)	(0.01)	(0.02)	(0.03)	(0.04)	(0.05)	(0.06)	(0.07)	(0.08)	(0.09)
(0.0)	(0.50000)	(0.50399)	(0.50798)	(0.51197)	(0.51595)	(0.51994)	(0.52392)	(0.52790)	(0.53188)	(0.53586)
(0.1)	(0.53983)	(0.54380)	(0.54776)	(0.55172)	(0.55567)	(0.55962)	(0.56356)	(0.56750)	(0.57142)	(0.57535)
(0.2)	(0.57926)	(0.58317)	(0.58706)	(0.59095)	(0.59483)	(0.59871)	(0.60257)	(0.60642)	(0.61026)	(0.61409)
(0.3)	(0.61791)	(0.62172)	(0.62552)	(0.62930)	(0.63307)	(0.63683)	(0.64058)	(0.64431)	(0.64803)	(0.65173)
(0.4)	(0.65542)	(0.65910)	(0.66276)	(0.66640)	(0.67003)	(0.67364)	(0.67724)	(0.68082)	(0.68439)	(0.68793)
(0.5)	(0.69146)	(0.69497)	(0.69847)	(0.70194)	(0.70540)	(0.70884)	(0.71226)	(0.71566)	(0.71904)	(0.72240)
(0.6)	(0.72575)	(0.72907)	(0.73237)	(0.73565)	(0.73891)	(0.74215)	(0.74537)	(0.74857)	(0.75175)	(0.75490)
(0.7)	(0.75804)	(0.76115)	(0.76424)	(0.76730)	(0.77035)	(0.77337)	(0.77637)	(0.77935)	(0.78230)	(0.78524)
(0.8)	(0.78814)	(0.79103)	(0.79389)	(0.79673)	(0.79955)	(0.80234)	(0.80510)	(0.80785)	(0.81057)	(0.81327)
(0.9)	(0.81594)	(0.81859)	(0.82121)	(0.82381)	(0.82639)	(0.82894)	(0.83147)	(0.83398)	(0.83646)	(0.83891)
(1.0)	(0.84134)	(0.84375)	(0.84614)	(0.84850)	(0.85083)	(0.85314)	(0.85543)	(0.85769)	(0.85993)	(0.86214)
(1.1)	(0.86433)	(0.86650)	(0.86864)	(0.87076)	(0.87286)	(0.87493)	(0.87698)	(0.87900)	(0.88100)	(0.88298)
(1.2)	(0.88493)	(0.88686)	(0.88877)	(0.89065)	(0.89251)	(0.89435)	(0.89617)	(0.89796)	(0.89973)	(0.90147)
(1.3)	(0.90320)	(0.90490)	(0.90658)	(0.90824)	(0.90988)	(0.91150)	(0.91309)	(0.91466)	(0.91620)	(0.91774)
(1.4)	(0.91924)	(0.92073)	(0.92220)	(0.92364)	(0.92507)	(0.92647)	(0.92785)	(0.92922)	(0.93056)	(0.93189)
(1.5)	(0.93320)	(0.93448)	(0.93574)	(0.93700)	(0.93822)	(0.93943)	(0.94062)	(0.94180)	(0.94295)	(0.94408)
(1.6)	(0.94520)	(0.94630)	(0.94738)	(0.94845)	(0.94950)	(0.95053)	(0.95154)	(0.95254)	(0.95352)	(0.95449)
(1.7)	(0.95543)	(0.95637)	(0.95728)	(0.95818)	(0.95907)	(0.95994)	(0.96080)	(0.96164)	(0.96246)	(0.96327)
(1.8)	(0.96407)	(0.96485)	(0.96562)	(0.96638)	(0.96712)	(0.96784)	(0.96856)	(0.96926)	(0.96995)	(0.97062)
(1.9)	(0.97128)	(0.97193)	(0.97257)	(0.97320)	(0.97381)	(0.97441)	(0.97500)	(0.97558)	(0.97615)	(0.97670)
(2.0)	(0.97725)	(0.97778)	(0.97830)	(0.97882)	(0.97932)	(0.97982)	(0.98030)	(0.98077)	(0.98124)	(0.98170)
(2.1)	(0.98214)	(0.98257)	(0.98300)	(0.98341)	(0.98382)	(0.98422)	(0.98461)	(0.98500)	(0.98537)	(0.98574)
(2.2)	(0.98610)	(0.98645)	(0.98680)	(0.98713)	(0.98745)	(0.98778)	(0.98809)	(0.98840)	(0.98870)	(0.98899)
(2.3)	(0.98928)	(0.98956)	(0.98983)	(0.99010)	(0.99036)	(0.99061)	(0.99086)	(0.99110)	(0.99134)	(0.99158)
(2.4)	(0.99180)	(0.99202)	(0.99224)	(0.99245)	(0.99266)	(0.99286)	(0.99305)	(0.99324)	(0.99343)	(0.99361)
(2.5)	(0.99380)	(0.99396)	(0.99413)	(0.99430)	(0.99446)	(0.99461)	(0.99477)	(0.99492)	(0.99506)	(0.99520)
(2.6)	(0.99534)	(0.99547)	(0.99560)	(0.99573)	(0.99585)	(0.99598)	(0.99610)	(0.99620)	(0.99632)	(0.99643)
(2.7)	(0.99653)	(0.99664)	(0.99674)	(0.99683)	(0.99693)	(0.99702)	(0.99710)	(0.99720)	(0.99728)	(0.99736)
(2.8)	(0.99744)	(0.99752)	(0.99760)	(0.99767)	(0.99774)	(0.99781)	(0.99788)	(0.99795)	(0.99801)	(0.99807)
(2.9)	(0.99813)	(0.99820)	(0.99825)	(0.99830)	(0.99836)	(0.99841)	(0.99846)	(0.99851)	(0.99856)	(0.99860)
(3.0)	(0.99865)	(0.99870)	(0.99874)	(0.99878)	(0.99882)	(0.99886)	(0.99890)	(0.99893)	(0.99896)	(0.99900)

1.3 使用正态分布表的步骤

1. 确定 (x) 的值，将其分为整数部分和小数点后第一位作为行标题，小数点后第二位作为列标题。
2. 在表中找到对应的行和列，交叉处的值即为 (x) 左侧的面积。

例如，当 (x = 1.23) 时，先找到行标题为 (1.2) 的行，再找到列标题为 (0.03) 的列，交叉处的值为 (0.89065)，这就是 (x = 1.23) 左侧的面积。

2. 卡方分布表

卡方分布在统计学中也有广泛的应用，常用于拟合优度检验、独立性检验等。卡方分布表提供了对于指定的上侧尾部面积 (p)，对应的分位数 (x_p)。

2.1 卡方分布表的结构

卡方分布表（表A.2）的行标题是自由度 (df)，列标题是上侧尾部面积 (p)。通过查找对应的自由度和上侧尾部面积，就可以得到相应的分位数。

2.2 卡方分布表示例

自由度 (df)	(0.975)	(0.95)	(0.90)	(0.10)	(0.05)	(0.025)
(1)	(0.000982)	(0.00393)	(0.0158)	(2.706)	(3.841)	(5.024)
(2)	(0.05064)	(0.1026)	(0.2107)	(4.6052)	(5.9915)	(7.378)
(3)	(0.216)	(0.352)	(0.584)	(6.251)	(7.815)	(9.348)
(4)	(0.484)	(0.711)	(1.064)	(7.779)	(9.488)	(11.143)
(5)	(0.831)	(1.146)	(1.610)	(9.236)	(11.071)	(12.833)
(6)	(1.237)	(1.635)	(2.204)	(10.645)	(12.592)	(14.449)
(7)	(1.690)	(2.167)	(2.833)	(12.017)	(14.067)	(16.013)
(8)	(2.180)	(2.733)	(3.490)	(13.362)	(15.507)	(17.535)
(9)	(2.700)	(3.325)	(4.168)	(14.684)	(16.919)	(19.023)
(10)	(3.247)	(3.940)	(4.865)	(15.987)	(18.307)	(20.483)
(11)	(3.816)	(4.575)	(5.578)	(17.275)	(19.675)	(21.920)
(12)	(4.404)	(5.226)	(6.304)	(18.549)	(21.026)	(23.337)
(13)	(5.009)	(5.892)	(7.042)	(19.812)	(22.362)	(24.736)
(14)	(5.629)	(6.571)	(7.790)	(21.064)	(23.685)	(26.119)
(15)	(6.262)	(7.261)	(8.547)	(22.307)	(24.996)	(27.488)
(16)	(6.908)	(7.962)	(9.312)	(23.542)	(26.296)	(28.845)
(17)	(7.564)	(8.672)	(10.085)	(24.769)	(27.587)	(30.191)
(18)	(8.231)	(9.390)	(10.865)	(25.989)	(28.868)	(31.526)
(19)	(8.907)	(10.117)	(11.651)	(27.204)	(30.144)	(32.852)
(20)	(9.591)	(10.851)	(12.443)	(28.412)	(31.41)	(34.17)
(21)	(10.28)	(11.59)	(13.24)	(29.62)	(32.67)	(35.48)
(22)	(10.98)	(12.34)	(14.04)	(30.81)	(33.92)	(36.78)
(23)	(11.69)	(13.09)	(14.85)	(32.01)	(35.17)	(38.08)
(24)	(12.40)	(13.85)	(15.66)	(33.20)	(36.42)	(39.36)
(25)	(13.12)	(14.61)	(16.47)	(34.38)	(37.65)	(40.65)
(26)	(13.84)	(15.38)	(17.29)	(35.56)	(38.89)	(41.92)
(27)	(14.57)	(16.15)	(18.11)	(36.74)	(40.11)	(43.19)
(28)	(15.31)	(16.93)	(18.94)	(37.92)	(41.34)	(44.46)
(29)	(16.05)	(17.71)	(19.77)	(39.09)	(42.56)	(45.72)
(30)	(16.79)	(18.49)	(20.60)	(40.26)	(43.77)	(46.98)
(60)	(40.48)	(43.19)	(46.46)	(74.40)	(79.08)	(83.30)
(90)	(65.65)	(69.13)	(73.29)	(107.6)	(113.2)	(118.1)
(120)	(91.57)	(95.70)	(100.6)	(140.2)	(146.6)	(152.2)
(150)	(118.0)	(122.7)	(128.3)	(172.6)	(179.6)	(185.8)

2.3 使用卡方分布表的步骤

1. 确定自由度 (df) 和上侧尾部面积 (p)。
2. 在表中找到对应的自由度行和上侧尾部面积列，交叉处的值即为分位数 (x_p)。

例如，当自由度 (df = 5)，上侧尾部面积 (p = 0.05) 时，对应的分位数 (x_p = 11.071)。

3. 统计分析示例

3.1 正态分布的应用示例

假设我们有一个样本，其均值为 (\mu = 50)，标准差为 (\sigma = 10)，我们想知道样本值 (x = 60) 左侧的概率。
1. 首先进行标准化：(z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{60 - 50}{10} = 1)。
2. 然后在正态分布表中查找 (z = 1) 左侧的面积，从表中可知为 (0.84134)。

3.2 卡方分布的应用示例

在一个独立性检验中，我们计算得到卡方统计量为 (\chi^2 = 12)，自由度 (df = 5)。我们想知道在显著性水平 (\alpha = 0.05) 下是否拒绝原假设。
1. 从卡方分布表中查找自由度 (df = 5)，上侧尾部面积 (p = 0.05) 对应的分位数为 (11.071)。
2. 由于计算得到的卡方统计量 (\chi^2 = 12 > 11.071)，所以在显著性水平 (\alpha = 0.05) 下拒绝原假设。

4. 其他重要概念和分析方法

4.1 假设检验

假设检验是统计推断的重要方法之一，用于判断样本数据是否支持某个假设。假设检验包括原假设 (H_0) 和备择假设 (H_1)。常见的假设检验有 (t) 检验、(F) 检验、卡方检验等。

4.2 线性回归

线性回归用于建立自变量和因变量之间的线性关系。其模型可以表示为 (y = \alpha + \beta x + \epsilon)，其中 (y) 是因变量，(x) 是自变量，(\alpha) 是截距，(\beta) 是斜率，(\epsilon) 是误差项。

4.3 生存分析

生存分析用于研究事件发生的时间，例如疾病的复发时间、产品的使用寿命等。常用的模型有比例风险模型（Cox回归）等。

4.4 非参数方法

当数据不满足参数模型的假设时，可以使用非参数方法。非参数方法不依赖于数据的分布，常见的非参数方法有秩和检验、中位数检验等。

5. 总结

统计学中的正态分布表和卡方分布表是非常重要的工具，它们在很多统计分析中都有广泛的应用。同时，各种统计分析方法如假设检验、线性回归、生存分析和非参数方法等，为我们处理不同类型的数据和问题提供了有力的支持。在实际应用中，我们需要根据数据的特点和问题的需求选择合适的方法进行分析。

通过对这些分布表和分析方法的深入理解和掌握，我们可以更好地进行数据分析和决策，为各个领域的研究和实践提供有价值的信息。

下面是一个简单的流程图，展示了选择统计分析方法的基本步骤：

graph TD;
    A[确定研究问题] --> B[数据类型和分布];
    B -- 正态分布 --> C[参数方法];
    B -- 非正态分布 --> D[非参数方法];
    C --> E[假设检验/回归分析等];
    D --> F[秩和检验/中位数检验等];
    E --> G[得出结论];
    F --> G;

总之，统计学是一门非常实用的学科，它可以帮助我们从数据中提取有价值的信息，做出合理的决策。希望本文介绍的内容能对读者在统计学的学习和应用中有所帮助。

6. 具体案例分析

6.1 医学研究案例

在一项关于某种疾病治疗效果的研究中，研究人员将患者随机分为两组，一组接受新的治疗方法，另一组接受传统治疗方法。研究的目的是比较两种治疗方法的治愈率是否有显著差异。
- 数据收集 ：记录每组患者的治愈情况（治愈或未治愈）。
- 分析方法选择 ：由于这是一个二分类变量（治愈/未治愈）的比较问题，适合使用卡方检验。
- 假设设定 ：
- 原假设 (H_0)：两种治疗方法的治愈率无显著差异。
- 备择假设 (H_1)：两种治疗方法的治愈率有显著差异。
- 计算卡方统计量 ：根据收集到的数据构建列联表，然后计算卡方统计量。假设得到卡方统计量为 (\chi^2 = 5.6)，自由度 (df = 1)。
- 决策 ：从卡方分布表中查找自由度 (df = 1)，上侧尾部面积 (p = 0.05) 对应的分位数为 (3.841)。由于 (\chi^2 = 5.6 > 3.841)，所以在显著性水平 (\alpha = 0.05) 下拒绝原假设，认为两种治疗方法的治愈率有显著差异。

6.2 市场调研案例

某公司想了解不同年龄段消费者对其新产品的购买意愿是否存在差异。他们对不同年龄段的消费者进行了调查，记录了每个年龄段中表示愿意购买和不愿意购买的人数。
- 数据收集 ：按照年龄段分组，统计每组中愿意购买和不愿意购买的人数。
- 分析方法选择 ：同样是二分类变量（愿意购买/不愿意购买）在不同组（不同年龄段）之间的比较，使用卡方检验。
- 假设设定 ：
- 原假设 (H_0)：不同年龄段消费者对新产品的购买意愿无显著差异。
- 备择假设 (H_1)：不同年龄段消费者对新产品的购买意愿有显著差异。
- 计算卡方统计量 ：构建列联表并计算卡方统计量，假设得到 (\chi^2 = 8.2)，自由度 (df = 3)（假设分为 4 个年龄段）。
- 决策 ：从卡方分布表中查找自由度 (df = 3)，上侧尾部面积 (p = 0.05) 对应的分位数为 (7.815)。由于 (\chi^2 = 8.2 > 7.815)，所以在显著性水平 (\alpha = 0.05) 下拒绝原假设，认为不同年龄段消费者对新产品的购买意愿有显著差异。

7. 注意事项

7.1 分布表的适用条件

• 正态分布表 ：要求数据近似服从正态分布。在使用正态分布表进行计算时，需要先对数据进行标准化处理，使其符合标准正态分布。
• 卡方分布表 ：卡方检验要求样本数据是独立的，并且每个单元格的期望频数不能太小。一般来说，每个单元格的期望频数应大于 5，如果不满足这个条件，可能需要使用校正的卡方检验或其他方法。

7.2 假设检验的局限性

• 假设检验只能提供关于原假设是否成立的证据，但不能证明原假设或备择假设的真实性。
• 假设检验的结果受到样本大小、显著性水平等因素的影响。样本量过小可能导致检验功效不足，无法检测到真实的差异；而显著性水平的选择也会影响决策的结果。

7.3 数据质量的重要性

准确、完整的数据是进行统计分析的基础。在收集数据时，要注意避免数据缺失、错误记录等问题。如果数据存在质量问题，可能会导致分析结果的偏差。

8. 进一步学习资源

8.1 书籍推荐

• 《概率论与数理统计》：这是一本经典的统计学教材，系统地介绍了概率论和数理统计的基本概念、方法和应用。
• 《应用回归分析》：详细讲解了线性回归、非线性回归等回归分析方法，对于理解变量之间的关系非常有帮助。
• 《生存分析方法与应用》：专门介绍生存分析的理论和方法，适合从事医学、生物学等领域研究的人员。

8.2 在线课程

• Coursera、EdX 等在线学习平台上有许多统计学相关的课程，如“统计学基础”、“数据分析与统计推断”等，可以根据自己的需求选择学习。
• 中国大学 MOOC 上也有国内高校开设的优质统计学课程，内容丰富，讲解详细。

8.3 统计软件

• SAS：功能强大的统计分析软件，广泛应用于科研、企业等领域。可以通过学习 SAS 的编程语法，进行各种复杂的统计分析。
• R 语言：开源的统计分析软件，拥有丰富的统计包和可视化工具。许多统计学家和数据科学家都使用 R 语言进行数据分析和建模。

9. 总结回顾

9.1 主要内容总结

本文介绍了统计学中常用的正态分布表和卡方分布表，包括它们的结构、使用方法和应用案例。同时，还介绍了假设检验、线性回归、生存分析和非参数方法等重要的统计分析方法，并通过具体案例展示了这些方法的实际应用。

9.2 学习建议

• 深入理解正态分布和卡方分布的概念和性质，掌握分布表的使用方法。
• 多做练习题和案例分析，通过实际操作加深对统计分析方法的理解和应用能力。
• 结合实际问题，选择合适的统计分析方法进行分析，避免盲目使用方法。

9.3 未来展望

随着数据科学和人工智能的发展，统计学在各个领域的应用将越来越广泛。未来，我们可以期待更多先进的统计方法和技术的出现，为解决复杂的实际问题提供更有效的支持。

下面是一个总结性的表格，对比正态分布和卡方分布的特点和应用：
| 分布类型 | 特点 | 应用场景 | 使用步骤 |
| — | — | — | — |
| 正态分布 | 呈钟形曲线，具有对称性，均值、中位数和众数相等 | 计算概率、进行假设检验、质量控制等 | 1. 确定 (x) 值；2. 标准化；3. 查找分布表 |
| 卡方分布 | 非负、右偏态分布，形状取决于自由度 | 拟合优度检验、独立性检验等 | 1. 确定自由度和上侧尾部面积；2. 查找分布表 |

通过对本文内容的学习，希望读者能够掌握统计学中常用的分布表和分析方法，提高数据分析和决策的能力。在实际应用中，不断积累经验，灵活运用这些方法，为解决各种实际问题提供有力的支持。