19、逻辑回归：原理、应用与诊断

逻辑回归：原理、应用与诊断

逻辑回归是一种用于研究二项式或二元数据的实用方法。它通过对二项式数据的参数 $p$ 进行建模，帮助我们理解和预测各种现象。下面将详细介绍逻辑回归的相关内容，包括其原理、应用场景以及诊断方法。

逻辑回归基础

逻辑回归主要用于处理二项式或二元数据。在逻辑回归中，我们不是直接建立结果概率的线性模型，而是建立对数几率（log-odds）的线性模型。对数几率也被称为 logit，它是 $log(p/(1 - p))$，其中 $p$ 是事件发生的概率。

另一个与逻辑回归相关的概念是 probit 模型，它将累积正态分布建模为协变量的线性函数。logit 和 probit 具有相似的曲线形状，并且在大多数情况下会产生近似相同的拟合模型，只是回归系数（betas）的测量尺度不同。当测量的概率接近 0 或 1 时，两者的差异会更明显。

逻辑回归的应用案例

纽约大都会队比赛胜负分析

表 8.4 展示了纽约大都会队 2007 赛季截至 6 月 3 日的比赛胜负记录。从表面上看，比赛胜负是二元结果，比赛编号可作为解释变量，符合逻辑回归的数据形式。然而，深入分析会发现一些潜在问题。因为并非所有比赛的对手都相同，而且球队阵容会因投手休息等因素而变化。因此，除了比赛编号，还可以考虑比赛是“主场”还是“客场”以及对手实力等额外的解释变量。

graph LR
    A[比赛编号] --> B[比赛胜负]
    C[主场/客场] --> B
    D[对手实力] --> B