4、统计学中的关键概念：置信区间、正态分布与假设检验

统计学中的关键概念：置信区间、正态分布与假设检验

1. 置信区间与哈勃常数

1.1 二项分布参数的置信区间

对于二项分布的参数 (p)，其 95% 的置信区间为：
(\hat{p} - 1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{N}}, \hat{p} + 1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{N}})

置信区间一般用于表达我们对真实参数值的不确定性，它结合了抽样误差和重复基本实验的概念。如果多次重复二项实验，且 (N) 始终为同一个大数值，那么所有 (\hat{p}) 的分布将近似于正态分布（钟形曲线）。由于正态曲线的 95% 位于均值减去 1.96 倍标准差和均值加上 1.96 倍标准差之间，所以参数 (p) 的真实值有 95% 的概率落在这个区间内。不过，这里存在一些假设条件，一是我们通常只有一个样本而非多个，二是在大多数情况下 (N) 的值不一定很大。尽管如此，这个置信区间仍是表达我们对参数 (p) 不确定性的一种被广泛接受的方法。

1.2 哈勃常数

爱因斯坦的数学理论表明宇宙在膨胀，直到 1929 年，埃德温·哈勃提供了实证证据。更引人注目的是，星系离我们越远，远离我们的速度就越快。目前估计，距离每远 330 万光年，物体远离的速度就快 74 千米每秒。这个精确的速率被称为哈勃常数，对宇宙学家来说至关重要，因为很多宇宙相关的问题都依赖于它，比如宇宙在大爆炸后会继续膨胀，还是会达到最大规模后因引力作用重新聚集。现在宇宙学家认为哈勃常数并非真正恒定，因为引力会减缓膨胀速度，而暗能量会在长时间内加速膨胀。

随着时间推移，科学家使