统计学——全流程总结置信区间与假设检验

1. 置信区间

点估计：估计总体参数的一个具体值。
区间估计：估计总体参数的一个区间。
置信区间：对于一个我们永远无法知道总体的的情况下，我们通常用样本估计总体，那么我们估计的总体参数会有一个误差范围，这个误差范围就是置信区间。比如估计平均值中，我们用中括号[a,b]表示样本估计总体平均值的误差范围的区间，由于a和b的确切数值取决于你希望自己对于“该区间包含总体均值”这一结果具有的可信程度，因此，[a,b]被称为置信区间。
置信水平：我们选择这个置信区间，目的是为了为了让“a和b之间包含总体平均值”这一结果具有特定的概率，这个概率就是置信水平。
假设我设定的置信水平是95%，也就是说如果我做100次抽样，会有95个置信区间包含了总体平均值。

2. 假设检验

假设检验基本流程：

1. 提出假设
2. 确定适当的检验统计量
3. 规定显著性水平$\alpha$
4. 计算检验统计量的值
5. 作出统计决策

2.1 提出假设

什么是原假设？

待检验的假设，称之为0假设，标记为$H_0$；它是我们收集证据想反对的假设，一般会有=，>=或者<=。

什么是备择假设？

与原假设相对立的假设，称之为研究假设，标记为$H_1$；它是我们想支持的假设，一般有≠，>或者<。

假设的形式

2.2 确定统计量

检验统计量是用于假设检验决策的统计量。

一个正态总体参数的检验(以n=30为大小样本分界线)：

待估参数为均值：

1. ${\sigma }^2$已知的大样本和小样本：$z$统计量

$$z=\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\backsim N(0,1)$$

• $\bar{X}$样本均值
• $\mu$总体均值
• $\sigma$总体标准差
• $n$样本大小

2. 大样本${\sigma }^2$未知：$z$统计量

$$z=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\backsim N(0,1)$$

• $S$样本标准差

3. 小样本${\sigma }^2$未知：$t$统计量

$$t=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\backsim t(n-1)$$

待估参数为比例：大样本$z$统计量

$$z=\sqrt{\frac{\pi (1-\pi )}{n}}$$