2、统计与数学在生活中的应用与思考

统计与数学在生活中的应用与思考

1. 统计基础概念

1.1 样本与标准差、方差

我们以测量一群人的身高为例。人群中总有高有矮，改变样本大小并不会显著改变数据的标准差，因为个体差异始终存在。然而，如果我们想估计平均身高，标准误差会随着样本量的增加而减小（以 1/√样本量的速率），这就促使我们使用更大的样本，从而更精确地测量平均值，这种精确程度用标准误差来描述。例如，若要将测量平均值的精度提高一倍，就需要四倍大小的样本。

与标准差相关的另一个常用术语是方差，它们的关系是：方差 = (标准差)²。给定观测样本值 (x_1, x_2, \cdots, x_n)，样本方差的计算公式为：
[s^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i}(x_i - \overline{x})^2]
其中 (\overline{x}) 是观测值的平均值。这个估计值通常用符号 (s^2) 表示，而估计的样本标准差 (s) 是该估计值的平方根。直观上，这个公式对每个观测值与样本平均值的平方差进行平均，只是分母比样本量少 1，“(n - 1)” 是这个表达式的自由度。

1.2 统计在新闻中的体现——天气图

报纸的商业版充斥着股票价格，体育版有大量的比赛得分和数据。而一张优秀的统计图表能够很好地总结和展示大量信息，如 2008 年 10 月 27 日的美国天气图。这张图包含多个层次的信息：
- 地理政治地图显示了海岸线和州界。
- 顶部的大地图展示了当天的天气细节，大 “H” 表示高气压中心的位置，温度相似的区域用相同颜色表示，还标明了降雨和降雪的位置。从图中还能推断出时间和运动元素，一个大的锋面从北方席卷全国，带来