FFT-trick及Culey-Tukey蝴蝶变换原理及实现

最新推荐文章于 2025-07-09 10:24:21 发布

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#密码学

本文详细介绍了快速傅里叶变换(FFT)在计算多项式环乘法中的应用，通过定理阐述了Zq/(a(x)⋅b(x))与Zq/(a(x))×Zq/(b(x))的等价性，并展示了如何使用FFT-trick进行多项式环的分解。内容包括Cooley-Tukey和Gentleman-Sande蝴蝶变换，以及它们在减少乘法运算中的作用。此外，还讨论了在NTT过程中优化乘法运算的Barrett约减和Montgomery约减算法。

FFT-trick计算多项式环乘法

定理：

$Zq/(a(x)⋅b(x))≅Zq/(a(x))×Zq/(b(x))\mathbb{Z}_{q}/(a(x) \cdot b(x)) \cong \mathbb{Z}_{q}/(a(x))× \mathbb{Z}_{q}/(b(x))$ ,其中 $a (x), b (x)$ 互素

$b(x))\phi: f(x) \to (f(x) \ mod \ a(x), f(x) \ mod \ b(x))$

$Zq[x]/(xn+1)=Zq[x]/(xn−ωn)≅Zq[x]/(xn2−ωn2)×Zq[x]/(xn2+ωn2)\quad \mathbb{Z}_{q}[x]/(x^{n}+1)=\mathbb{Z}_{q}[x]/(x^{n}-\omega^{n}) \cong \mathbb{Z}_{q}[x]/(x^{\frac{n} {2}}-\omega^{\frac{n} {2}})×\mathbb{Z}_{q}[x]/(x^{\frac{n} {2}}+\omega^{\frac{n} {2}})$
$f=∑i=0n−1fixi→(fmod(xn2−ωn2),fmod(xn2+ωn2))\quad f=\sum_{i=0}^{n-1} f_{i}x^{i}\to (f mod(x^{\frac{n} {2}}-\omega^{\frac{n} {2}}),f mod (x^{\frac{n} {2}}+\omega^{\frac{n} {2}}))$

当 $n = 4$ 的时候则可以得到以下分解
在这里插入图片描述
快速数论变换NTT的结果都可以以这种方式计算出做完NTT变换后的每项系数，也就是对应这个二叉树叶节点的值（都为常数）。其实求每个分支的值的方法也非常简单。例如我们要求第二层也就是根节点的左右儿子的值，左边：只需要将 $x2=ω2x^{2}=\omega^{2}$ 带入根节点的式子中即可得左儿子的值。

这里解释一下为什么根节点的右儿子可以分解成 $Zq[x]/(x−ω3)\mathbf{Z}_{q}[x] /\left(x-\omega^{3}\right)$ 和 $Zq[x]/(x+ω3)\mathbf{Z}_{q}[x] /\left(x+\omega^{3}\right)$ 的形式，是因为这里 $ω\omega$ 是模