数论变换Number Theoretic Transform(NTT）

数论变换是用来干什么的？

数论变换是用来快速高效地计算系数为$Z_q$多项式环乘法运算结果的一个算法。

多项式定义

$f(x)={\sum }_{i=0}^n{a}_i{x}^i$

1. 多项式的根：$f(x_0)=0$, $x_0$为多项式的根
2. 若$a_n\ne 0,deg(f)=n$

多项式乘法

$f(x)={\sum }_{i=0}^n{a}_i{x}^i$ $g(x)={\sum }_{j=0}^n{a}_j{y}^j$
$f(x)\cdot g(x)={\sum }_{i=0}^{n+m}{C}_t{x}^t$
其中$C_t={\sum }_{i+j=t}{a}_i{b}_j$
并且满足$deg(f)>=deg(g),f(x)\ne 0$
多项式$f$和$g$的乘积$h$称为$f$和$g$的折叠卷积

群的定义

带有二元运算的集合G（以下默认集合非空）
满足以下条件：
1、结合律
2、存在零元
3、有可逆元

Abel群

在以上定义的基础上还满足交换律
$a+b=b+a$

环的定义

对集合$R$，现在有两种运算，$+$和$\cdot$，满足
1、在$+$（加法）下成Abel群
2、$a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$（结合律）
3、$(a+b)\cdot c=ac+bc$（分配率）
则称集合$R$为环

多项式环、多项式商环

多项式环就是多项式系数在环上。多项式商环就是多项式环模了一个多项式

多项式商环下的乘法

现在存在一个多项式环${\mathbb{Z}}_q[x]/(x^n+1),n=2^m$（$n$是2的某次幂），$q$是素数，并且满足$2n|(q-1)$
其中$f,g$都是是属于多项式环的，需要计算多项式环$f,g$的乘积：
$$\begin{gathered} f,g\in {\mathbb{Z}}_q/(x^n+1) \\ h=f\cdot g\in {\mathbb{Z}}_q/(x^n+1) \\ f=(f_0,f_1,f_2,...,f_{n-1}) \\ g=(g_0,g_1 \end{gathered}$$